Šiame straipsnyje išnagrinėsime tiesinės priklausomybės lygtį, pradedant nuo pagrindinių sąvokų ir baigiant sudėtingesniais modeliais. Aptarsime, ką turi žinoti devintokas, kad suprastų šią temą, įskaitant modelius ir sąryšius, dėsningumus ir skaičių sekas. Taip pat panagrinėsime algebros, kvadratinių lygčių, raidinių reiškinių ir lygčių sistemų sąvokas, kurios yra būtinos norint suprasti tiesines priklausomybes.
Pagrindinės sąvokos
Modeliai ir sąryšiai
Devintokas turėtų suprasti, kas yra matematinis modelis ir kaip jis naudojamas realaus pasaulio situacijoms aprašyti. Taip pat svarbu suprasti, kas yra sąryšis tarp dviejų ar daugiau kintamųjų.
Dėsningumai
Dėsningumai - tai pasikartojantys modeliai ar taisyklės, kurias galima pastebėti skaičių sekose ar kituose matematiniuose objektuose. Gebėjimas atpažinti dėsningumus yra svarbus norint suprasti tiesines priklausomybes.
Skaičių sekos
Skaičių seka apibrėžiama kaip funkcija, kurios apibrėžimo sritis yra natūraliųjų skaičių aibė. Paprastais atvejais mokoma(si) skaičių sekas aprašyti n-tojo nario formule, taip pat rekurentiniu būdu. Sprendžiami įvairaus konteksto uždaviniai, kai nagrinėjami, taikomi, derinami įvairūs skaičių sekų apibūdinimo būdai.
Algebra
Norint suprasti tiesines priklausomybes, būtina turėti gerus algebros pagrindus. Tai apima kvadratines lygtis, raidinius reiškinius ir lygčių sistemas.
Taip pat skaitykite: Gydymo metodai Marijampolėje
Kvadratinės lygtys
Apibrėžiama antrojo laipsnio (kvadratinė) lygtis su vienu nežinomuoju. Įrodoma ir taikoma kvadratinės lygties sprendinių formulė. Nagrinėjamos diskriminanto reikšmės sąsajos su kvadratinės lygties sprendinių skaičiumi. Sprendžiami įvairaus konteksto uždaviniai, sudarant kvadratines lygtis.
Raidiniai reiškiniai
Apibrėžiama kvadratinio trinario sąvoka, įrodoma jo skaidymo dauginamaisiais formulė; ji taikoma, sprendžiant uždavinius. Apibrėžiama trupmeninio racionaliojo reiškinio sąvoka, aptariama jo apibrėžimo sritis. Mokoma(si) pritaikyti žinomus sudėties ir daugybos dėsnius, veiksmų su laipsniais ir trupmenomis savybes, pertvarkant, prastinant nesudėtingus trupmeninius racionaliuosius reiškinius.
Lygčių sistemos
Mokoma(si) dviejų lygčių sistemas (su dviem nežinomaisiais), kurių viena lygtis yra pirmojo, o kita - ne aukštesnio kaip antrojo laipsnio, spręsti grafiniu ir keitimo būdais. Nagrinėjamos įvairios realaus pasaulio situacijos, kurios gali būti modeliuojamos lygčių sistemomis.
Tiesiniai ir netiesiniai sąryšiai
Funkcijos samprata
Apibrėžiamos sąvokos: funkcija, funkcijos argumentas, funkcijos reikšmė, funkcijos apibrėžimo sritis, funkcijos reikšmių sritis, funkcijos grafikas. Mokoma(si) funkciją apibūdinti žodžiais, lentele, grafiku, formule (naudojantis ir skaitmeninėmis priemonėmis), apskaičiuoti ir (ar) nustatyti funkcijos reikšmes, kai yra žinoma funkcijos argumento reikšmė, ir atvirkščiai. Aiškinama(si), kuo funkcijos grafiko eskizas skiriasi nuo grafiko. Mokoma(si) nustatyti funkcijos apibrėžimo sritį, reikšmių sritį, funkcijos grafiko susikirtimo su koordinačių ašimis taškus; intervalus, kuriuose funkcija įgyja teigiamas ir neigiamas reikšmes; yra didėjančioji, mažėjančioji ar pastovioji.
Tiesinė ir kvadratinė funkcijos
Sprendžiami uždaviniai, kai realaus gyvenimo situacijoms tyrinėti ir modeliuoti - eksperimento duomenims aprašyti - taikomos (pasitelkiamos) funkcijos. Išnagrinėjus tiesinės funkcijos modeliu aprašomus eksperimento duomenis, yra apibrėžiama tiesinė funkcija y=kx+b, tiesės krypties koeficientas k, postūmio koeficientas b. Braižant konkrečių tiesinių funkcijų grafikų eskizus (tieses), tyrinėjama, kaip tiesės padėtis priklauso nuo šių koeficientų reikšmių.
Taip pat skaitykite: Kaip atpažinti priklausomybę?
Išnagrinėjus kvadratine funkcija aprašomus eksperimento duomenis, įvedama kvadratinės funkcijos y=ax²+bx+c, kai a≠0, sąvoka, braižomi jos grafiko (parabolės) eskizai. Tyrinėjama, kaip parabolės forma ir padėtis priklauso nuo a ir D=b²−4ac reikšmių.
Naudojantis skaitmeninėmis priemonėmis, tyrinėjama, kaip, taikant transformacijas, iš funkcijos y=x grafiko gauti funkcijos y=kx+b grafiką, o iš funkcijos y=x² grafiko gauti funkcijos y=a(x−m)²+n grafiką.
Sprendžiami uždaviniai, kuriuose įvairios realaus pasaulio situacijos yra modeliuojamos funkcijomis: y=kx+b, y=ax²+bx+c, y=a(x−m)²+n, y=a(x−x₁)(x−x₂).
Geometrija ir matavimai
Figūros
Plokštumos figūros
Apibrėžiami centrinis ir įbrėžtinis kampai. Nagrinėjama centrinio ir įbrėžtinio kampo, kurie kerta tą patį lanką, savybė. Apibrėžiamos sąvokos: apskritimo liestinė, kirstinė, styga; skritulio išpjova, nuopjova. Paaiškinama, kad apskritimo lankas matuojamas ne tik ilgio matavimo vienetais, bet ir laipsniais. Aptariamos ir taikomos savybės: liestinės statmenumo spinduliui, susikertančiųjų liestinių atkarpų iki lietimosi su apskritimu taškų, susikertančiųjų stygų. Mokoma(si) remtis apibrėžimais ir įrodytais teiginiais, sprendžiant įvairius matematinio ir realaus konteksto uždavinius, įrodinėjant kitus teiginius.
Įvadas į trigonometriją
Apibrėžiami sinusas, kosinusas ir tangentas stačiajame trikampyje. Apskaičiuojant panašiųjų trikampių atitinkamų kraštinių ilgių santykius, įsitikinama, kad jų reikšmės nepriklauso nuo trikampio dydžio. Įrodomos lygybės sin²(α)+cos²(α)=1, tg(α)=sin(α)/cos(α) ir sudaroma kampų 30⁰, 45⁰, 60⁰ trigonometrinių reikšmių lentelė. Sprendžiami įvairūs uždaviniai, kai taikomi sinuso, kosinuso, tangento stačiajame trikampyje apibrėžimai (pavyzdžiui, nustatyti objekto aukštį, rasti kelio nuolydį ar lėktuvo pakilimo kampą, apskaičiuoti atstumą iki neprieinamos vietos ir pan.).
Taip pat skaitykite: Patarimai, kaip sumažinti laiką prie kompiuterio
Duomenys ir tikimybės
Duomenys ir jų interpretavimas
Nagrinėjamos taškinės (sklaidos) diagramos, vaizduojančios statistinį ryšį tarp dviejų kintamųjų (stebimų požymių) reikšmių. Mokoma(si) iš sklaidos diagramos įvertinti šio ryšio buvimą ar nebuvimą, aptariama, kokiais atvejais kalbama apie kintamųjų koreliacinį ryšį. Detaliau aptariama tiesinė koreliacija. Mokoma(si) užrašyti sklaidos diagramoje pavaizduotos tiesės lygtį y=kx+b, interpretuoti šia lygtimi aprašomą duomenų ryšį.
Tiesinės regresijos metodas
Realiame gyvenime yra labai daug dydžių, kurie tarpusavyje yra vienaip ar kitaip susiję, t. y. priklausomi. Dažniausiai iš visų priklausomybių yra tiesinis sąryšis. Tiesinio sąryšio nagrinėjimui dažniausiai yra naudojami tiesinės regresijos metodai: vienalypė ir daugialypė tiesinės regresijos.
Vienalypė tiesinė regresija
Kalbėdami apie vienalypę tiesinę regresiją, iš pradžių apibrėšime šio metodo idėją. Pagrindinė idėja yra nubrėžti tiesę, kuri geriausiai atitiktų turimus duomenis. Ji yra vadinama regresijos tiese. Šios idėjos realizavimui išsamiau panagrinėsime, kaip atrodo tiesinės regresijos modelis dviejų kintamųjų atveju, kaip sudaroma lygtis, koks ryšio stiprumas tarp kintamųjų, kintamųjų išsidėstymas apie regresijos tiesę, išsiaiškinsime, kada sudarytas modelis yra tinkamas.
Vienalypės tiesinės regresijos modelis
Tiesinės regresijos modelis dviejų kintamųjų atveju aprašomas tokia lygtimi:
y = β₀ + β₁x + ε
čia:
- y - priklausomas kintamasis;
- x - nepriklausomas kintamasis;
- β₀ - tiesės poslinkis (y reikšmė, kai x = 0);
- β₁ - tiesės nuolydis (priklausomo kintamojo pokytis, kai nepriklausomas kintamasis padidėja vienetu);
- ε - atsitiktinė paklaida.
Dažniausiai atsitiktinė paklaida yra matavimo paklaida. Kiekvienai x reikšmei galima gauti skirtingas y realizacijas. Galimos realizacijos priklauso nuo atsitiktinės paklaidos elgesio.
S. Vissų ε vidurkiai lygūs nuliui, t.y. vissų ε dispersijos lygios, t.y. Kadangi ε yra normalieji atsitiktiniai dydžiai, tai su kiekviena fiksuota x reikšme kintamieji y irgi yra normalieji atsitiktiniai dydžiai.
Ši prielaida yra svarbi ir tuo atveju, kai kintamųjų skirstiniai nedaug skiriasi nuo normaliųjų.
Kintamųjų Y ir X sąryšį aprašo stochastinė lygtis.
Dispersijos lygybė. Dispersijos lygybės prielaida dar vadinama homoskedastiškumo reikalavimu. Tai reikalavimas, kad su kiekvienu fiksuotu xi galimų Yi reikšmėms pasiskirstymas būtų vienodas. Pažymėtina tai, kad patys Yi reikšmių vidurkiai kinta tiesiškai, o vienodas tik reikšmių pasiskirstymas apie vidurkius. Kai homoskedastiškumo reikalavimas netenkinamas, sakoma, kad duomenys heteroskedastiški.
Nepriklausomos paklaidos reiškia, kad ir visi ε nepriklausomi.
Vienalypės tiesinės regresijos lygtis
Tarkime, kad duomenis sudaro intervalinis kintamasis poriniai stebėjimai (x₁, y₁), (x₂, y₂), …, (xn, yn). Mūsų uždavinys - nubrėžti tiesę, kuri geriausiai atspindėtų taškų išsidėstymo tendenciją, t. y. tiesinį trendą (kryptį). Tarkime, kad y = β₀ + β₁x ir yra ši tiesė, t. y. tiesė y = β₀ + β₁x geriausiai "išlygina" n porų reikšmių (x₁, y₁), (x₂, y₂), …, (xn, yn). Ši tiesinė lygtis yra vadinama prognozės lygtimi. Dydžiai y₁ - (β₀ + β₁x₁), y₂ - (β₀ + β₁x₂), …, yn - (β₀ + β₁xn), t. y. (y₁ - (β₀ + β₁x₁)), (y₂ - (β₀ + β₁x₂)), …, (yn - (β₀ + β₁xn)) - tai stebimų kintamojo y reikšmių nuokrypiai nuo prognozuojamų reikšmių ir kiekvienas iš jų vadinamas netiktimi (liekana) arba paklaida ir žymima εi, ε₂.
Pagal grafiko duomenis galime pastebėti, kad taškai (x₁, y₁) - tai vertikalusis atstumas nuo stebimo y₁ iki prognozės tiesės, kurios parametrus β₀ ir β₁ mums dar reikės apibrėžti. Šie koeficientai randami taikant mažiausiųjų kvadratų metodą, kurio esmė - iš aibės galimų tiesių sklaidos diagramoje išrinkti geriausią tiesę ta prasme, kad paklaidų kvadratų suma būtų minimali, t. y.
Lygtis, gauta naudojant mažiausiųjų kvadratų metodą, yra vadinama regresijos tiese. Mes gavome regresijos lygtį y = β₀ + β₁x, kurios koeficientai β₀ ir β₁yra apibrėžti (2) ir (3) lygybėmis.
Koreliacijos ir determinacijos koeficientai
Tiesinio ryšio stiprumui nustatyti yra naudojamas koreliacijos koeficientas R. Imkime duomenis, kuriuos sudaro intervalinis kintamasis poriniai stebėjimai: (x₁, y₁), (x₂, y₂), …, (xn, yn).
Atvejis R = 1 reiškia, kad tarp x ir y yra tikslus teigiamas tiesinis sąryšis. Pagal koreliacijos koeficiento dydį galima spręsti, kokią įtaką priklausomajam kintamajam, turi nepriklausomas kintamasis. Jo ryšio stiprumui įvertinti naudojama Čedoko skalė.
Šio reikšmingumui įvertinti naudojamas Stjkdento kriterijus t.
Laikoma, kad koeficientas R yra reikšminis, jei galioja nelygybė:
čia:
- t - Stjudento kriterijaus reikšmė;
- α - reikšmingumo lygmuo (paprastai 0,05);
- n - imties dydis;
- k - nepriklausomų kintamųjų skaičius.
Praktikoje šis atvejis pasitaiko ne taip dažnai.
Determinacijos koeficientas yra variacijos dalies, kurią paaiškina regresijos funkcija, ir visos variacijos santykis, t. y.
Jeigu visi stebėjimo taškai bus pasirinktoje regresijos tiesėje y = β₀ + β₁x, tai tuo atveju SST = SSR. Tada liekamoji paklaidų kvadratų suma lygi 0, o R² = 1. Šis atvejis dar vadinamas idealiu. Dabar tarkime, kad regresijos tiesės lygtis visiškai netinkama, tada SSR=0 ir R²=0. Vadinasi, kuo determinacijos koeficiento skaitinė reikšmė artimesnė vienetui, tuo stebėjimai labiau koncentruoti apie mažiausiųjų kvadratų metodu gautą tiesę. Didesnis determinacijos koeficientas reiškia, kad stebėjimai yra labai koncentruoti apie mažiausiųjų kvadratų metodu gautą tiesę. Praktiškai taikant regresinę analizę dažniausiai reikalaujama, kad R² ≥ 0,5.
Paprastajame tiesinės regresijos modelyje yra tik vienas nepriklausomas kintamasis, todėl koeficientai R² ir R skiriasi labai nedaug.
Vienalypės tiesinės regresijos modelio tinkamumo nustatymas
Tarkime, kad mes jau suradome tiesinės regresijos tiesės koeficientus ir reikia patikrinti, ar pakankamai tiksliai gautoji lygtis aprašo eksperimentinius duomenis. Kitaip tariant, reikia tikrinti tiesinės regresijos lygties adekvatumą.
Apskaičiuojama dispersija SST, charakterizuojanti eksperimentinis duomenų nukrypimą nuo vidurkio, t. y.
ir dispersija SSE, charakterizuojanti eksperimentinis duomenų nukrypimą nuo regresijos tiesės taškų, t. y.
Atsitiktinis dydis F yra pasiskirstęs pagal Fiašerio dėsnį su (n - 1, n - 2) laisvės laipsniais. Tiesinės regresijos lygtis bus adekvatiška, kai bus tenkinama tokia sąlyga F > Fkr. Fkr reikšmė paimama iš Fiašerio kriterijaus lentelės, su reikšmingumo lygmeniu α ir laisvės laipsniu (n - 1, n - 2).
Liekamosios paklaidos analizė vienalypės tiesinės regresijos atveju
Skyrelyje 1.1.1. buvo aptarta, kad porinio stebėjimo (x₁, y₁) liekamoji paklaida εi, parodo, kiek stebėtoji yi reikšmė skiriasi nuo reikšmės, kurią gauname prognozuodami pagal regresijos tiesę. Jei visi εi = 0, tai prognozuojami y₁ sutampa su stebėjimais y₁. Išskiriami du pagrindiniai analizės atvejai: išskirtis ir liekamosios paklaidos grafikai. Išsiaiškinsime, kas yra išskirtys ir kaip jos aptinkamos.
Išskirtys
Tokie labai besiskiriantys nuo kitų duomenų poriniai stebėjimai (x₁, y₁) vadinami išskirtimis. Stebėjimo įtakos indeksas. Jis įvertina tik pirmosios koordinatės (nepriklausomojo kintamojo) reikšmę (ar toli nuo x yra xi).
Standartizuotosios liekanos (SRi) yra liekamosios paklaidos εi z - reikšmės. Beje vissų εi kur ε aritmetinis vidurkis lygus nuliui. Čia εi yra i - tojo stebėjimo liekamoji paklaida, hi - stebėjimo įtakos indeksas, ε - vidutinė paklaida, n - imties didumas.
Kuko matas (Di) (atstumo statistika) atsižvelgia ir į standartizuotąją liekaną ir į stebėjimo įtakos indeksą.
čia F yra Fiašerio skirstinio su 2 ir (n - 2) laisvės laipsniais 0,5 lygmens kritinė reikšmė.
Radę išskirtis, pirmiausiai turime patikrinti, ar duomenyse nėra klaidos. Po to turime išsiaiškinti, kaip atsirado duomenų išskirtis. Neišsiaiškinus priežasties jos šalinti negalima. Tokiu atveju rekomenduojama duomenis papildyti naujais stebėjimais ir tyrimą kartoti.
Liekamosios paklaidos grafikai
Kai renkamės tiesinės regresijos modelį, mes spėjame, kad kintamųjų priklausomybė yra tiesinė. Tačiau pravartu pažvelgti ir į duomenų pasiskirstymo grafiką, nors vien iš grafiko nuspręsti, ar regresinės analizės modelis tinkamas, - rizikinga. Grafinei prielaidų diagnostikai paprastai naudojami ne porinis stebėjimų grafikai, o liekamosios paklaidos arba standartizuotsios liekanų grafikai. Jeigu regresijos modelis tinka, visi εi turi būti pasiskirstę atsitiktinai ir sudaryti horizontalų debesį aplink nulį.
Daugialypė tiesinė regresija
Daugialypė tiesinė regresija yra statistinis metodas, naudojamas tirti ryšį tarp priklausomo kintamojo ir dviejų ar daugiau nepriklausomų kintamųjų.
tags: #kas #yra #tiesines #priklausomybes #lygtis