Šiame straipsnyje nagrinėsime judėjimo lygtis, pradedant nuo paprastų tiesiaeigio tolyginio ir tolygiai kintamo judėjimo atvejų, pereinant prie sudėtingesnių sinusoidinių funkcijų ir baigiant daugiamatės sistemos autoregresinio modelio analize. Straipsnyje bus paaiškinti pagrindiniai principai, formulės ir grafiniai vaizdavimo būdai, siekiant padėti skaitytojams suprasti ir analizuoti įvairius judėjimo tipus.
Tiesiaeigis Judėjimas: Tolygus ir Tolygiai Kintamas
Fizikoje dažnai susiduriame su situacijomis, kai kūnai juda tiesia linija. Toks judėjimas gali būti dviejų tipų: tolyginis ir tolygiai kintamas.
Tiesiaeigis Tolygus Judėjimas
Tiesiaeigis tolygus judėjimas apibūdinamas tuo, kad kūnas juda tiesia linija pastoviu greičiu. Tai reiškia, kad per vienodus laiko tarpus kūnas įveikia vienodus atstumus.
Jei kūnas juda tiese [tex]x[/tex], tai jo greičio projekcija yra pastovi: [tex]vx=const[/tex], o kūno koordinatė kinta taip [tex]x=x0+vxt[/tex], čia ir toliau [tex]x0[/tex]- kūno koordinatė pradiniu laiko momentu. Toks judėjimas yra be pagreičio, taigi [tex]a_x=0[/tex].
Pavyzdžiui, lygtis [tex]x_1 = 4 + 2t[/tex] aprašo tiesiaeigį tolyginį judėjimą. Čia:
Taip pat skaitykite: Suprasti tiesiogiai proporcingus dydžius
- Pradinė padėtis ([tex]x_0[/tex]) yra 4 metrai.
- Greitis ([tex]v_x[/tex]) yra 2 m/s (tai skaičius, nurodytas prie [tex]t[/tex]).
- Pagreičio nėra, kadangi tai tolyginis judėjimas.
- Norint apskaičiuoti padėtį bet kuriuo laiko momentu [tex]t[/tex], reikia įsistatyti [tex]t[/tex] reikšmę į lygtį.
- Nuvažiuotas kelias apskaičiuojamas iš galutinės padėties atimant pradinę: [tex]x1 - x0[/tex]; [tex]x_1 - 4[/tex] šioj lygty.
Grafiškai, greičio priklausomybė nuo laiko vaizduojama tiese, lygiagrečia su laiko ašimi, kertančia vertikalią ašį ties greičio reikšme. Pavyzdžiui, jei [tex]v_x=6[/tex], grafikas būtų tiesė, lygiagreti su laiko ašimi, kertanti vertikalią ašį ties 6.
Tiesiaeigis Tolygiai Kintamas Judėjimas
Tiesiaeigis tolygiai kintamas judėjimas apibūdinamas tuo, kad kūnas juda tiesia linija, o jo greitis kinta pastoviai. Tai reiškia, kad per vienodus laiko tarpus greitis pakinta vienodu dydžiu.
Greičio kitimą apibūdina pagreitis, kurio projekcija randama pagal formulę:
$$ax=\dfrac{vx-v_{0x}}{Δt}$$
Čia [tex]v{0x}[/tex]-kūno greičio projekcija pradiniu momentu, o [tex]vx-[/tex] po laiko tarpo [tex]Δt[/tex].
Taip pat skaitykite: Apie tiesiogiai proporcingus dydžius
Pavyzdžiui, lygtis [tex]x_2 = 2t + t^2[/tex] aprašo tiesiaeigį tolygiai kintamą judėjimą. Čia:
- Pradinis greitis yra skaičius, nurodytas prie [tex]t[/tex]; [tex]2 \frac{m}{s}[/tex] šiuo atveju.
- Pagreitis yra nurodytas prie [tex]t^2[/tex]; [tex]1 \frac{m}{s^2}[/tex] šiuo atveju.
- Padėtį galima apskaičiuoti įsistačius laiką [tex]t[/tex].
- Nuvažiuotas kelias apskaičiuojamas iš galutinės padėties atimant pradinę: [tex]x1 - x0[/tex]; [tex]x_2 - 0[/tex] šiuo atveju.
Iš lygties [tex]vx=v{0x}+axt[/tex] matome, jog grafikas taip pat bus tiesė. Na pvz.: būtų [tex]vx=4-2t[/tex].
Susidūrimo Vietos ir Laiko Apskaičiavimas
Norint apskaičiuoti dviejų kūnų susidūrimo vietą ir laiką, reikia sulyginti jų judėjimo lygtis. Pavyzdžiui, jei turime lygtis [tex]x1 = 4 + 2t[/tex] ir [tex]x2 = 2t + t^2[/tex], sulyginame jas:
[tex]4 + 2t = 2t + t^2[/tex]
Išsprendę šią lygtį, gauname:
Taip pat skaitykite: Nuo prigimties iki įveikimo
[tex]-t^2 = -4 \vert : (-1)[/tex][tex]t^2 = 4[/tex][tex]t = \pm 2[/tex]
Kadangi [tex]t[/tex] privalo būti [tex]> 0[/tex], tai [tex]t = 2(s)[/tex]. Tai reiškia, kad kūnai susidurs po 2 sekundžių. Įstačius šį laiką į bet kurią iš pradinių lygčių, galime apskaičiuoti susidūrimo vietą.
Sinusoidinės Funkcijos ir Jų Grafikai
Sinusoidinės funkcijos yra svarbios fizikoje, ypač nagrinėjant bangas ir virpesius. Jų grafikai parodo priklausomybę tarp kampo ir sinuso reikšmės.
Sinuso Funkcijos Grafikas
Dinaminis paveikslėlis demonstruoja, kaip vienetiniame apskritime stebimos sinuso reikšmes. Keičiant sinuso kampo dydį, galima pamatyti sinuso kampo reikšmes.
Mokinių klausiama, kada sinuso reikšmė lygi 1; 0; -1.
Mokinių klausiama, kaip koordinačių plokštumoje galėtume nubrėžti sinuso reikšmių y priklausomybės nuo kampo x grafiką. Mokiniai naudojasi parengtu įrankiu, 9 kadras - „Sinuso funkcija“. Mokytojo komentarai ir pagalba.
Dažnis ir Bangos Ilgis
Sinusoidiniai virpesiai apibūdinami dviem susijusiais parametrais - dažniu (angl. frequency) ir bangos ilgiu.
- Dažnis (matuojamas hercais (Hz)) - tai ciklų skaičius per vieną sekundę. Paaiškinama, kas yra vieno herco dažnis, ir kaip jis siejasi su sinusoidės periodu. Trumpa diskusija. Radijo bangos dažnis - tai ciklų skaičius per vieną sekundę.
- Bangos ilgis (visada matuojamas metrais) - atstumas nuo vienos iki kitos bangos viršūnės (t.y. dviejų vienodos fazės taškų). Tai yra atstumas, kurį nukeliauja banga, atlikdama vieną svyravimą.
Kuo didesnis vieno ciklo laikas, tuo didesnis bangos ilgis, ir tuo žemesnis dažnis. Ir atvirkščiai.
Koeficiento Įtaka Grafikui
Mokinių klausiama, kaip keičiasi grafikas, funkcijoje keičiant koeficientą a. Galima paminėti, kad šis koeficientas fizikoje nurodo bangos dažnį, kitaip sakant, nurodo sinusoidės bangų skaičių periode 2π. Periodas yra atstumas (arba laikas), per kurį realizuojama viena sinusoidės banga (ciklas).
Mokinių klausiama, kokia yra koeficiento a įtaka sinusoidės periodui ir reikšmių sričiai.
Akcentuojama, jog fizikoje sinusoidės kreivė natūraliai aktuali nagrinėjant bangas. Kai bangos turi daugiau energijos, jos kyla aukštyn ir žemyn energingiau. Mokinių klausiama, kokia yra koeficiento a įtaka sinusoidės periodui ir reikšmių sričiai. Laukiamas atsakymas, jog periodas nesikeičia, o minimali reikšmė apskaičiuojama -1+c, maksimali reikšmė apskaičiuojama 1+c.
Laipsninės Funkcijos ir Parabolės
Be tiesinių ir sinusoidinių funkcijų, fizikoje ir matematikoje svarbios ir laipsninės funkcijos, ypač parabolės.
Laipsninės Funkcijos
Paaiškinama, kas yra laipsninės funkcijos. Nuosekliai dinaminiu paveikslėliu primenami pirmojo laipsnio funkcijos grafikai: horizontali tiesė; vertikali tiesė; neigiamas krypties koeficientas; teigiamas krypties koeficientas; koeficiento b prasmė. Naudojamasi SMP įrankiu.
Parabolės
Demonstruojama Parabola animacija. Primenamos trys skirtingos parabolės formos. Naudojamasi SMP įrankiu.
Įjungus parabolės formą, priklausomai nuo to, kaip ši apibrėžiama, galime judinti koeficientus, viršūnę ar šakas.
Kubinės Parabolės
Uždėjus varnelę ant [latex]f(x) = ax^3[/latex], matomas raudonas grafikas. Mokinių prašoma paaiškinti, kaip keičiasi kubinės parabolės grafikas, slankjuostėje keičiant skaičiaus [latex]a[/latex] reikšmę.
Uždėjus varnelę ant [latex]g(x) = x^3 + c[/latex], matomas mėlynas grafikas ir paliekamas raudonas [latex]f(x) = 1 \cdot x^3[/latex] grafikas. Mokinių prašoma paaiškinti, kaip keičiasi kubinės parabolės grafikas, slankjuostėje keičiant skaičiaus [latex]c[/latex] reikšmę.
Uždėjus varnelę ant [latex]h(x) = (x+b)^3[/latex], matomas žalias grafikas ir paliekamas raudonas [latex]f(x)=1 \cdot x^3[/latex] grafikas. Mokinių prašoma paaiškinti, kaip keičiasi kubinės parabolės grafikas, slankjuostėje keičiant skaičiaus [latex]b[/latex] reikšmę.
Mokinių klausiama, kaip, turint funkcijos [latex]f(x) = ax^3[/latex] grafiką, galima nubrėžti funkcijos [latex]k(x) = a(x+b)^3 + c[/latex] grafiką.
Diskrečiosios Sistemos ir Furjė Transformacija
Perdavimo funkcijos ir diskretinė Furjė transformacija yra labai svarbios valdymo teorijoje, ryšio uždaviniuose, informacijos teorijoje ir akustinių signalų apdorojimo metoduose. Šiame skyriuje aptarsime perdavimo funkcijos savybes, pradedant nuo diskretinių sistemų analizės iki daugiamatės sistemos autoregresinio modelio nagrinėjimo.
Diskretinės Sistemos
Diskretinė sistema yra algoritmas arba taisyklė, pagal kurią sistemos įėjimo seka yra transformuojama į išėjimo seką. Jei pavėlintai įėjimo sekai x(n - k) atitinka tiek pat pavėlinta išėjimo seka y(n - k), diskretinė sistema yra pastovi parametrais. Vėlinimo, dauginimo ir sumavimo elementai yra pastovūs parametrai tiesinėse diskretinėse sistemose. Pastovi parametrais tiesinė diskretinė sistema pilnai apibūdinama impulsine charakteristika.
Tiesinė Skirtuminė Lygtis su Pastoviais Koeficientais
Pastovi parametrais tiesinė diskretinė sistema aprašoma tiesine skirtumine lygtimi su pastoviais koeficientais. Skirtuminė lygtis yra patogi diskretinės sistemos išraiška. Ji naudojama sistemai realizuoti, leidžia nustatyti sistemos eilę bei kitas charakteristikas. Skirtuminės lygties eilę apibūdina dydis N.
Diskretinės sistemos impulsinė charakteristika yra jos reakcija į vienetinį impulsą, todėl jei x(n) = δ(n), tai y(n) = h(n). Sistemos pradinė sąlyga yra nulinė, t.y. h(n) = 0, kai n < 0. Sistemos, kurių skirtuminės lygtys yra (1.6) pavidalo, vadinamos neribotos impulsinės reakcijos (NIR) sistemomis. Sistemos, kurių impulsinės charakteristikos yra baigtinės, vadinamos ribotos impulsinės reakcijos (RIR) sistemomis.
Matlabo Programa Filter
Matlabo programa filter skirta skirtuminėms lygtims spręsti skaitmeniškai, kai duota įėjimo seka ir skirtuminės lygties koeficientai. Čia b = [b0, b1, …, bM] ir a = [a0, a1, …, aN] yra (1.6) lygties koeficientų masyvai, o x yra įėjimo seka. Išėjimo sekos y ilgis yra lygus įėjimo sekos x ilgiui. Koeficientas a0 neturi būti lygus nuliui.
Pavyzdžiui, turint koeficientų masyvus b = [1] ir a = [1, -1, 0.9], galima išspręsti skirtuminę lygtį ir išvesti impulsinės charakteristikos visas reikšmes. Iš gauto h(n) grafiko matoma, kad h(n) → 0, kai n → ∞, todėl sistema stabili (1-as būdas stabilumui patikrinti).
Daugianario Šaknų Skaičiavimas
Galima apskaičiuoti daugianario, kurio koeficientai sudaryti iš masyvo a reikšmių, šaknis. Pavyzdžiui, apskaičiuojant daugianario f(x) = y(n) - y(n - 1) + 0.9 y(n - 2) šaknis ir nustatant, ar sistema stabili, reikia apskaičiuoti šaknų absoliutinius dydžius. Gaunama, kad magz = 0.9487, 0.9487.
Funkcija conv negali atlikti kompozicijos operacijos, jei dvi arba viena seka yra neriboto ilgio. Kompozicijai apskaičiuoti reikia naudoti funkciją filter.
Kompozicijos Skaičiavimas
Turint riboto ilgio įėjimo seką x(n) = u(n) - u(n - 10) ir neriboto ilgio impulsinę charakteristiką h(n) = (0.9)^n u(n), pagal apibrėžimą h(n) yra sistemos išėjimo seka (impulsinė charakteristika), kai įėjime veikia vienetinis impulsas δ(n). Šią kompoziciją galima apskaičiuoti naudojant funkciją filter.
Diskretinio Laiko Furjė Analizė
Diskretinio laiko Furjė analizė yra svarbi skaitmeninio signalo apdorojimo priemonė, leidžianti bet kokį signalą išskaidyti į elementarius signalus - kompleksines eksponentes. Realusis signalas tokiu atveju vaizduojamas sinusinių signalų suma. Ši analizė suteikia galimybę interpretuoti nagrinėjamą signalą ir sistemą dažnių srityje. Dažninė analizė tapo labiausiai ištobulintu skaitmeninio signalo apdorojimo įrankiu.
Impulsinė Charakteristika h(n)
Tiesinė sistema gali būti aprašyta jos reakcija į vienetinį impulsą h(n), vadinama impulsine charakteristika. Furjė transformacija naudojama tiesinių diskretinių sistemų analizei dažnių srityje. Diskretinės sistemos impulsinė charakteristika h(n) apibūdina sistemą kaip n funkciją. Sistemą galima apibūdinti ne tik impulsine charakteristika. Tarkime, kad sistemos įėjime veikia kompleksinės eksponentės pavidalo seka x(n) = e^(jωn).
Dažninė Charakteristika
Sekos, padaugintos iš kompleksinio dydžio H(e^(jω)), H(e^(jω)) vadinama sistemos dažnine charakteristika. Dažninė charakteristika yra sistemos perdavimo koeficientas kiekvienai dažnio reikšmei ω.
Daugiamatės Sistemos Autoregresinis Modelis
Nagrinėsime daugiamatės sistemos autoregresinį modelį. Turime M kanalų sistemą, kurios kiekvieno k-ojo kanalo išėjimo signalas yk(t) laiko momentu t priklauso nuo įėjimo signalo uk(t), uk(t-1) ir nuo ankstesnių išėjimo signalo reikšmių yk(t-1), yk(t-2). Čia uk(t) yra įėjimas ir yk(t) yra išėjimas. Daroma prielaida, kad koeficientai prie uk(t), yk(t) narių lygūs vienetui. Tuomet ir W(z) bus polinominė matrica.
Polinominės Matricos Determinantas ir Adjunktai
Apskaičiuojant polinominės matricos determinantą ir visus adjunktus pagal žinomas taisykles dauginami polinomai. Galima panaudoti Furjė transformacijos algoritmą. Apskaičiuojami (2.8) išraiškos matricos A(z), B(z), C(z) elementai, kurie priklauso nuo visų kanalų įėjimo signalų Uk(z) transformacijų Uk(ejω), Uk(ejω), su sąlyga, kad visų kanalų, išskyrus k-ąjį kanalą, įėjimo signalai lygūs nuliui.
Kanalo amplitudės dažninė charakteristika tarp k-ojo išėjimo ir l-ojo įėjimo yra dažninės charakteristikos absoliutinė reikšmė Hkl(ejω), o fazės dažninė charakteristika - dažninės charakteristikos argumentas arg[Hkl(ejω)], Hkl(ejω).
Stabilumas
Žinome, kad z yra vėlinimo operatorius. Daugiamatė sistema bus stabili tada ir tik tada, kai perdavimo funkcijos H(z) (2.16) vardiklio det(A(z)) visos šaknys bus vienetinio spindulio apskritimo viduje. Tokiu būdu, iš (2.18) seka, kad kanalo stabilumas tarp k-ojo išėjimo ir l-ojo įėjimo priklauso nuo polinomo A(z) šaknų.
Polinomo Šaknų Absoliutūs Dydžiai
Polinomo šaknų absoliutūs dydžiai: 0.8762, 0.9559, 0.6393, 0.6393, 0.47, 0.47, 0.3922 yra mažesni už vienetą.
tags: #priklausomybes #nuo #x #grafikas