Kiekviena sistema, tiek diskretinė, tiek analoginė, gali būti apibūdinta laikinėje ir dažninėje ašyse. Diskretinių sistemų atveju, laikiniai parametrai aprašomi impulsine charakteristika, o dažniniai - dažnine charakteristika. Šiame straipsnyje nagrinėsime perdavimo funkcijos priklausomybę nuo dažnio, apibrėžimą ir jos savybes, pradedant nuo diskretinių sistemų analizės iki daugiamatės sistemos autoregresinio modelio nagrinėjimo.
Diskretinės sistemos ir impulsinė charakteristika
Diskretinė sistema - tai algoritmas arba taisyklė, pagal kurią sistemos įėjimo seka transformuojama į išėjimo seką. Diskretinės sistemos impulsinė charakteristika h(n) apibūdina sistemą kaip n funkciją. Jei pavėlintai įėjimo sekai x(n - k) atitinka tiek pat pavėlinta išėjimo seka y(n - k), diskretinė sistema yra pastovi parametrais. Vėlinimo, dauginimo ir sumavimo elementai yra pastovūs parametrai tiesinėse diskretinėse sistemose. Pastovi parametrais tiesinė diskretinė sistema pilnai apibūdinama impulsine charakteristika.
Diskretinę sistemą galima apibūdinti ne tik laikine, bet ir dažnine charakteristika (spektru). Taigi, diskretinę sistemą galima apibūdinti dažninėmis charakteristikomis.
Dažninė charakteristika
Kaip ir diskretizuoto signalo dažninė charakteristika, diskretinės sistemos amplitudės dažninė charakteristika (ADCh) pasižymi simetrija kas Fd/2 arba π - charakteristikos dalis diapazone Fd/2 - Fd yra identiškas veidrodinis atspindys charakteristikos, diapazone 0 - Fd/2. Panašiai elgiasi ir sistemos fazinė dažninė charakteristika (FDCh), tik reikia įvertinti, jog ji - nelyginė funkcija.
Sistemos dažninė charakteristika yra periodinė funkcija, todėl gali būti išskleista Furjė eilute. Ši seka yra periodinė, o periodas lygus 2π, nes pagal Oilerio formulę Dažninės charakteristikos modulis vadinamas amplitudės dažnine charakteristika (ADCh), o argumentas - fazine dažnine charakteristika (FDCh). Paprastai sekos h(n) nariai yra realūs skaičiai, todėl ADCh yra lyginė dažnio ω funkcija, o FDCh - nelyginė.
Taip pat skaitykite: Svarbios perdavimo funkcijos savybės
Dažninės charakteristikos gavimas
Sistemos dažninę charakteristiką galima gauti iš skirtuminės lygties. Taikant išraišką dažninių charakteristikų skaičiavimui reikia nepamiršti, jog dažnis ω - yra kampinis dažnis, kintantis diapazone nuo 0 iki 2π. Iš gautos dažninės charakteristikos gavus modulį ir argumentą, gaunamos amplitudės ir fazės dažninės charakteristikos. Taigi diskretinės sistemos dažninė charakteristika gali būti gaunama iš sistemos impulsinės reakcijos arba skirtuminės lygties.
Diskretinio laiko Furjė analizė
Diskretinio laiko Furjė analizė yra svarbi skaitmeninio signalo apdorojimo priemonė, leidžianti bet kokį signalą išskaidyti į elementarius signalus - kompleksines eksponentes. Realusis signalas tokiu atveju vaizduojamas sinusinių signalų suma. Ši analizė suteikia galimybę interpretuoti nagrinėjamą signalą ir sistemą dažnių srityje. Dažninė analizė tapo labiausiai ištobulintu skaitmeninio signalo apdorojimo įrankiu.
Tiesinė sistema gali būti aprašyta jos reakcija į vienetinį impulsą h(n), vadinama impulsine charakteristika. Furjė transformacija naudojama tiesinių diskretinių sistemų analizei dažnių srityje. Tarkime, kad sistemos įėjime veikia kompleksinės eksponentės pavidalo seka x(n) = e^(jωn).
Sekos, padaugintos iš kompleksinio dydžio H(e^(jω)), H(e^(jω)) vadinama sistemos dažnine charakteristika. Dažninė charakteristika yra sistemos perdavimo koeficientas kiekvienai dažnio reikšmei ω.
Daugiamatės sistemos autoregresinis modelis
Nagrinėsime daugiamatės sistemos autoregresinį modelį. Turime M kanalų sistemą, kurios kiekvieno k-ojo kanalo išėjimo signalas yk(t) laiko momentu t priklauso nuo įėjimo signalo uk(t), uk(t-1) ir nuo ankstesnių išėjimo signalo reikšmių yk(t-1), yk(t-2). Čia uk(t) yra įėjimas ir yk(t) yra išėjimas. Daroma prielaida, kad koeficientai prie uk(t), yk(t) narių lygūs vienetui. Tuomet ir W(z) bus polinominė matrica.
Taip pat skaitykite: Reabilitacija psichikos sveikatos centre
Polinominės matricos determinantas ir adjunktai
Apskaičiuojant polinominės matricos determinantą ir visus adjunktus pagal žinomas taisykles dauginami polinomai. Galima panaudoti Furjė transformacijos algoritmą. Apskaičiuojami matricos A(z), B(z), C(z) elementai, kurie priklauso nuo visų kanalų įėjimo signalų Uk(z) transformacijų Uk(ejω), Uk(ejω), su sąlyga, kad visų kanalų, išskyrus k-ąjį kanalą, įėjimo signalai lygūs nuliui. Kanalo amplitudės dažninė charakteristika tarp k-ojo išėjimo ir l-ojo įėjimo yra dažninės charakteristikos absoliutinė reikšmė Hkl(ejω), o fazės dažninė charakteristika - dažninės charakteristikos argumentas arg[Hkl(ejω)], Hkl(ejω).
Stabilumas
Žinome, kad z yra vėlinimo operatorius. Daugiamatė sistema bus stabili tada ir tik tada, kai perdavimo funkcijos H(z) vardiklio det(A(z)) visos šaknys bus vienetinio spindulio apskritimo viduje. Tokiu būdu, seka, kad kanalo stabilumas tarp k-ojo išėjimo ir l-ojo įėjimo priklauso nuo polinomo A(z) šaknų.
Polinomo šaknų absoliutūs dydžiai: 0.8762, 0.9559, 0.6393, 0.6393, 0.47, 0.47, 0.3922 yra mažesni už vienetą.
Skaičiavimo metodai
Skaičiuojant, priimkime, kad visų sistemos kanalų vėlinimai yra vienodi, t.y. τk = τl (jei nevienodi, tada τk ≠ τl). Apskaičiuojame A(z), B(z); C(z).
Modeliavimas su Matlab
Tyrimui naudojome Matlabo programą, kur tirtas MKSS algoritmo sudėtingumas ir jis lygintas su žinomu geriausiu Leverrier algoritmu. Tirtos priklausomybės nuo polinomų eilės. Grafikuose pavaizduotas MKSS metodo grafikas, t.y. GFT, o * - Leverrier metodo grafikas. Iš grafikų matoma priklausomybė nuo polinomų eilės, kai r = 5, 10, 20 ir 35. Iš grafikų matoma priklausomybė nuo perdavimo funkcijos matricos dydžio M x M (M - kanalų skaičius). Šiuo atveju fiksuojame polinomų eilę M. Matlabo programa naudota skaičiavimo laikui parodyti.
Taip pat skaitykite: Efektyvūs būdai atstatyti kognityvines funkcijas
Dvipoliai ir keturpoliai
Šiuolaikinės grandinės yra labai didelės ir jas kaip vieną visumą analizuoti sudėtinga, todėl jos suskaidomos į dalis (funkcinius vienetus). Visos šitos grandinės vadinamos dvipoliais, keturpoliais, šešiapoliais. Žinant dvipolių ir keturpolių savybes galima analizuoti ir kitus daugiapolius.
Dvipoliai
Dvipoliu vadiname grandinės dalį turinčia du prisijungimo gnybtus. Nežiūrint grandinės sudėtingumo tai iš esmės yra kompleksinė varža, kurioje bendruoju atveju gali būti varžų, talpų ir induktyvumų. Taigi, dvipoliu pirmoje eilėje apibūdinama apkrova. Dvipoliu gali būti apibūdinamas ir signalų šaltinis. Signalų šaltinio pažymėjime dar būna ir EV šaltinis, tačiau reikia turėti omenyje, kad EV šaltinio varža lygi 0. Taigi, apkrova ir šaltinis yra dvipoliai, kurių pagrindinis parametras yra kompleksinė varža. Taigi, norint apibūdinti dvipolio dažnines savybes galime turėti keturias charakteristikas:
- Dažninė dvipolio pilnosios varžos charakteristika.
- Dažninė dvipolio fazės charakteristika.
- Dažninė dvipolio aktyviosios varžos charakteristika.
- Dažninė dvipolio reaktyviosios varžos charakteristika.
Keturpoliai
Keturpolis kaip apkrova iš esmės yra dvipolis, kuriame prie buvusių išėjimo gnybtų prijungta apkrova. Apkrova gali būti ir neprijungta. Kadangi keturpolį galima įsivaizduoti kaip dvipolį, tai jo apibūdinimui naudosime visas dvipolio dažnines charakteristikas. Dažniausiai keturpoliams apibūdinti naudojama kompleksinė įtampos dažninė charakteristika:
- Dažninė amplitudės charakteristika.
- Dažninė fazės charakteristika.
Šios dvi charakteristikos visiškai apibūdina virpesių sklidimą keturpolyje. Dažninė amplitudės charakteristika yra bematė charakteristika. Dažnai šias charakteristikas priimta pateikti logaritminiu pavidalu. Norint pabrėžti tą logaritminį pavidalą nurodoma, kad charakteristika pateikiama decibelais dB arba neperiais Np.
Elektrovaros šaltinius priimta apibūdinti vidaus varža. Keturpolio vidaus varža vadinama išėjimo varža:
- Aktyviosios išėjimo varžos dažninė charakteristika.
- Reaktyvioji išėjimo varžos dažninė charakteristika.
Paprastos grandinės
Paprastomis grandinėmis vadinamos grandinėlės kurios sudarytos iš vienos aktyvios ir vienos reaktyvios varžų. Taigi, šiame skyriuje nagrinėsime RC ir CR grandinėles, RL ir LR grandinėles.
RC grandinėlė
Šios grandinėlės įtampos perdavimo koeficientas mažesnis už 1, nepriklauso nuo dažnio. Išėjimo varžos savybė (lygiagrečiai sujungti R1 ir R2) grandinės įėjime nurodo įtampą U1 siunčiamą į grandinę iš idealaus įtampos šaltinio.
Įėjimo varža priklauso nuo dažnio. Remiantis šiom išvadom, reikalui esant galima grandinę kaip apkrovą supaprastinti. Tokio tipo grandinėles priimta vadinti žemų dažnių filtrais.
Išėjimo varža priklauso nuo dažnio, ji dažniui didėjant mažėja. Žemų dažnių grandinėje išėjimo varža didžiausia ir aktyvioji.
CR grandinėlė
Grandinė gerai praleidžia aukštų dažnių virpesius ir labai blogai praleidžia žemų dažnių virpesius. Išsiveskime išėjimo varžos formulę klasikiniu būdu ir dar kartą įsitikinkime ar galioja taisyklė, kad išėjimo varža tai įėjimo varža iš išėjimo gnybtų pusės, kai grandinės išėjime prijungtas idealus įtampos šaltinis.
Laiko pastovioji. Jos matavimo vienetas sekundė. Žemų dažnių grandinėje įėjimo varža aktyvioji.
Išsivesta formulė sutampa su CR grandinėlės išraiška. Toks formulės išvedimas nėra racionalus nes skaitiklyje likęs nėra fiksuotas, ji priklauso nuo dažnio.
Grandinės išėjimo varža priklauso nuo dažnio, ji dažniui didėjant didėja. Žemuose dažniuose išėjimo varža labai maža.
RL ir RC filtrai
Iš RL ir RC elementų galima sudaryti žemų dažnių filtrus ir aukštų dažnių filtrus. Tokios grandinės tam tikrame dažnių ruože gerai praleidžia virpesius, o kitame - blogai. Iš pavyzdžių matome, kad charakteristikose nėra akivaizdaus lūžio, kurį galėtume suformuluoti kaip pralaidumo ir slopinimo juostų ribą. Tokį kriterijų tenka priimti susitarimu. Pralaidumo juosta žymima (pi).
Dvi RC grandys
Nagrinėjamą grandinėlę sudaro dvi RC grandys. Nagrinėdami šią grandinėlę pirmiausia išsiveskime formules kurios leistų apskaičiuoti įėjimo kompleksinę varžą ir kompleksinės dažninės charakteristikos vertes. Gautoji išraiška labai panaši į pirmos grandinės įėjimo varžos išraišką. Ji skiriasi tik vardiklyje atsiradusiu papildomu sandu. Šis sandas apibūdina apkrovos įtaką grandinės įėjimo varžai. Norint, kad įtaka būtų minimali reikia, kad šis sandas artėtų prie nulio. Gautoji išraiška labai panaši į antros RC grandinės kompleksinės dažninės charakteristikos sandaugą. Nuo šios sandaugos ji skiriasi tik sandu esančiu trupmenos vardiklyje. Šis sandas apibūdina antrosios RC grandinėlės įtaką pirmosios grandinėlės Kad įtaka būtų minimali reikia, kad .
Kuriant elektronines grandines naudojamas modulinis principas, tai reiškia, kad kuriama grandinė išskaidoma į atskirus išbaigtus modulius (keturpolius), kurie atlieka tam tikras funkcijas.
Rezonansas
Rezonansu laikomas procesas, kurio metu išoriniai virpesiai sutampa su grandinės laisvaisiais virpesiais. Šio proceso metu, laisvuose virpesiuose gali būti kaupiama energija.
Panagrinėkime, kokiam dažniui esant šios varžos reaktyvioji dalis lygi nuliui. yra lygus kontūro laisvųjų virpesių dažniui. Taigi, kontūre rezonansą galime aptikti įėjimo varža. Pertvarkykime išsivestą formulę taip, kad ji būtų apibūdinama rezonansinės grandinės parametrais. Pirmiausia įveskime į ją rezonansinio dažnio sąvoką. Ši išraiška apibūdina kontūro reaktyviųjų elementų varžą rezonanso metu. Q vadinama kontūro kokybe. Šis parametras apibūdina kiek kartų sukaupta kontūro reaktyviųjų elementų energija yra didesnė už kontūro nuostolių energiją. Formulėje priimkim, kad mus domins tik rezonansinis dažnis ir kad nuo rezonansinio dažnio nutolsime netoli. Išsiveskime dažninių charakteristikų formules ir nusibraižykime grafikus.
Rezonansinio kontūro savybes priimta apibūdinti dviejų tipų charakteristikomis: rezonansinėmis kreivėmis ir kompleksinėmis dažninėmis charakteristikomis. Dažniui tolstant nuo rezonansinio, charakteristikos vertės gana staigiai mažėja, tai rodo, kad ši grandinė gali tam tikro dažnių ruožo virpesius išskirti pagal amplitudę. Pralaidumo juostos kriterijai šioms grandinėms tokie pat kaip ir paprasčiausioms grandinėlėm. Šiuose paveiksluose parodyta kaip reikia iš apibendrintojo išderinimo pereiti prie pralaidumo juostos pločio dažnių ašyje. Taigi, ppralaidumo juostos plotis atvirkščiai proporcingas kokybei. Po transformacijos mes gavome jau nagrinėtą kontūrą grandinę. ¬- įneštinių varžų koeficientas. Taigi, signalų šaltinis ir apkrovos varža įtakoja tuos kontūro parametrus, kurie priklauso nuo nuostolių varžos.
Iš šios formulės gaukime visas keturias dažninių charakteristikų formules ir nusibraižykime grafikus. Esant rezonansiniam dažniui įėjimo varža aktyvioji, labai didelė ir lygi R0e.
Lygiagretaus kontūro savybės gali būti apibūdinamos kompleksine dažnine srovės perdavimo charakteristika. Panagrinėkime kaip keisis dažninė amplitudės charakteristika kintant . Nubraižytos pagal dažninę amplitudės charakteristiką kreivės būtų skirtingų aukščių ir pločių. Tokias kreives tarpusavyje palyginti nėra patogu. Labai akivaizdžiai kreivės tampa palyginamomis jei jos normuojamos. Norma, tai dažniausiai maksimali kreivės vertė jos charakteringajame taške, pavyzdžiui rezonanso metu. Gautoji charakteristika tik daugikliu Q skiriasi nuo nuoseklaus kontūro dažninės amplitudės charakteristikos.
Nustatykime lygiagrečiojo kontūro, prijungto prie signalų šaltinio su vidaus varža, pralaidumo juostos plotį. Kai apibendrintas išderinimas , pralaidumo juosto plotis būna (žr.: Nuoseklus rezonansinis kontūras). Norint, kad minėta nelygybė būtų tenkinama reikia priderinti prie maksimalių kontūrų rezonansines varžas . Nesant labai didelei tenka mažinti . Šį uždavinį galima išspręsti prie elektrovaros šaltinio dalinai prijungus kontūrą. Iš dalinai įjungtų kontūrų grandinių matome, kad kiekviename kontūre atsirado papildomai nuoseklus kontūras. A grandinėje , o B grandinėje . Taigi kiekviename kontūre vyks po du rezonansus: lygiagrečiame ir nuosekliame . Šis rezonansas vyksta taip: rezonuoja induktyvioji varža ir nuosekliame kontūre talpinė varža. Įsimagnetinęs kontūras dalinai, pirmines kontūro savybes išsaugo.
Keturpolių teorijos pagrindai
Iki šiol nagrinėjimo metodai grandinėms buvo analizė žinant schemą ir jos elementų parametrus. Buvo išvedamos formulės ir braižomos dažninės charakteristikos. Nagrinėjant dideles grandines tenka atitrūkti nuo elektrinės schemos, kitaip tariant, nagrinėti “juodąją dėžę”. Esant nežinomai grandinei galime žinoti tik įėjimo ir išėjimo gnybtų elektrinius dydžius. Dažniausiai taikoma grandinė yra keturpolis. Šiame skyriuje nagrinėsime keturpolių teorijos pagrindus.
Pagrindinės sąvokos
Ketrupoliu vadinsime apibendrintą didelę grandinės dalį, turinčią keturis prisijungimo gnybtus ir vykdančią įvairias funkcijas. Ketrupolis visuomet yra skirtas signalų perdavimui. Perdavimo metu jis gali filtruoti, stiprinti, slopinti ir kitaip apdoroti signalą. Keturpoliai gali būti aktyvieji ir pasyvieji. Aktyviojo keturpolio viduje yra energijos šaltinis: maitinimo šaltinis, generatorius. Pasyviajame keturpolyje šaltinių nėra, jie sudaryti iš R, L, C elementų.
Keturpoliai gali būti tiesiniai, netiesiniai ir parametriniai. Tiesinio keturpolio parametrai nepriklauso nuo įtampų ir srovių. Netiesinio keturpolio parametrai priklauso nuo įtampų ir srovių. Tokiuose keturpoliuose dažniausiai būna puslaidininkiniai elementai arba ritės su feromagnetinėmis šerdimis. Parametrinių grandinių parametrai priklauso nuo laiko. Ta priklausomybė yra dirbtinė. Ji dažniausiai sukuriama papildomu signalu. Kaip taisyklė, tas papildomas signalas gaunamas iš generatoriaus. Natiesinis elementas kartu su jį valdančiu signalu gali būti priimtas kaip parametrinis elementas. Taigi tarp netiesinio ir parametrinio keturpolio griežtos ribos nėra. Pagrindinis skirtumas yra superpozicijos pricipo taikymo galimybės.
Dar ketrupoliai gali būti apręžiamieji ir neapgręžiamieji. Apgręžiamajame keturpolyje galima sukeisti įėjimo ir išėjimo gnybtus vietomis, signalas sklis per keturpolį, tiks pasikeis sąlygos. Neapgręžiamajame keturpolyje sukeitus įėjimo ir išėjimo gnybtus vietomis signalas nesklis.
Keturpoliai gali būti simetriški ir nesimetriški. Simetriškame keturpolyje sukeitus įėjimo ir išėjimo gnybtus vietomis, signalo sklidimo sąlygos nepasikeičia. Keturpolio simetrija dažniausiai būdinga keturpoliui su simetriška grandine. Ketrupolį su simetriška grandine galime įsivaizduoti tokį.
Keturpoliai gali būti subalansuoti ir išbalansuoti. Ši klasifikacija paremta srovių tekėjimo sąlygomis. Jeigu srovei įtekėti ir ištekėti sąlygos yra vienodos, tai keturpolis yra subalansuotas, jei skirtingos - išbalansuotas.
Pirminiai parametrai ir perdavimo lygtys
Keturpolio apibūdinimui žinomi pirminiai parametrai yra Atskirai paimti šie dydžiai nenusako fizikiniu keturpolio savybių (laidžių, varžų, perdavimo koeficientų). Kad iš šių elektrinių dydžių gauti antrinius parametrus apibūdinančius fizikines keturpolio savybes, reikia šiuos dydžius susieti priklausomybėmis. Šios lygtys vadinamos perdavimo lygtimis. Pirmose lygtyse koeficientai siejantys sroves su įtampomis turės laidžio prasmę, antrose lygtyse koeficientai turės varžos prasmę.
Įsivaizduokime, kad mūsų nagrinėjamas keturpolis turi sudėtingą grandinę. Jis yra pasyvusis, grandinę galima išskaidyti į daug kontūrų. Pirmajame kontūre ties keturpolio įėjimu, įjungtas idealus įtampos šaltines , paskutiniame kontūre ties keturpolio išėjimu įjungtas idealus įtampos šaltines . Visuose kituose kontūruose šaltiniu nėra. Formulėse esančios trupmenos savyje turi įvertintus visus grandinės parametrus ir ši formulės dalis apskaičiuojama kitais būdais, vis tiek šiose lygtyse įvertina visas grandinės savybes. Mus domina tik dvi kontūrinės srovės. Šiuose lygtyse trupmenos gali būti panaudojamos keturpolio savybių apibūdinimui. Kadangi tai yra laidžiai, juos pažymėsime . Taip atrodo pirmoji lygčių perdavimo sistema. Joje mes galime žin0ti tik įtampas ir sroves.
Ši formulė skirta parametro Y11 apskaičiavimui, be to, iš jos išplaukia šio parametro fizikinė prasmė. Parametras yra keturpolio įėjimo laidis, esant trumpajam jungimui išėjime. Jei keturpolis yra apgręžiamasis tai parametras .
Tuščiosios eigos parametrai
Iš užrašytų formulių matome, kad visi parametrai apskaičiuoti esant tuščiajai eigai, todėl jie vadinami tuščiosios eigos parametrai. Parametras yra įėjimo varža esant tuščiajai eigai išėjime. Parametras yra ryšio varža tarp įėjimo ir išėjimo esant tuščiajai eigai įėjime. Parametras yra ryšio varža tarp įėjimo ir išėjimo esant tuščiajai eigai išėjime ir parametras yra įėjimo varža iš išėjimo gnybtų pusės esant tuščiajai eigai įėjime. Šiuos parametrus priimta surašyti į matricą. Jie vadinami Z parametrais, tuščiosios eigos parametrais arba varžų parametrais. Jei keturpolis apgręžiamasis tai .
A parametrai
Gauta lygčių sistema gali būti dvejopa, jei joje tarp sandų yra minuso ženklas, tai lygtys apibūdina įprastą ketrupolį: srovė įteka. Parametrus A galim pasiskaičiuoti iš Y parametrų pasinaudojant ryšio lygtimis. Jas gausime iš apvestų formulės dalių. Paprasčiau A parametrus apskaičiuoti pagal įtampas ir sroves. Šis parametras yra įtampos perdavimo koeficientas. Visų keturių parametrų fizikinė prasmė skirtinga, todėl jie vadinami apibendrintaisiais. Kai daug keturpolių yra sujungta pakopomis, visus keturpolius apibūdinančius parametrus lengviau apskaičiuoti naudojanti A parametrų sistema. Dėl šios priežasties šie parametrai dar vadinami pakopiniais.
tags: #perdavimo #funkcijos #priklausomybe #nuo #daznio