Perdavimo funkcijos ir diskretinė Furjė transformacija yra labai svarbios valdymo teorijoje, ryšio uždaviniuose, informacijos teorijoje ir akustinių signalų apdorojimo metoduose. Šiame straipsnyje aptarsime perdavimo funkcijos savybes, pradedant nuo diskretinių sistemų analizės iki daugiamatės sistemos autoregresinio modelio nagrinėjimo.
Diskretinės sistemos
Diskretinė sistema yra algoritmas arba taisyklė, pagal kurią sistemos įėjimo seka yra transformuojama į išėjimo seką. Jei pavėlintai įėjimo sekai x(n - k) atitinka tiek pat pavėlinta išėjimo seka y(n - k), diskretinė sistema yra pastovi parametrais. Vėlinimo, dauginimo ir sumavimo elementai yra pastovūs parametrai tiesinėse diskretinėse sistemose. Pastovi parametrais tiesinė diskretinė sistema pilnai apibūdinama impulsine charakteristika.
Tiesinė skirtuminė lygtis su pastoviais koeficientais
Pastovi parametrais tiesinė diskretinė sistema aprašoma tiesine skirtumine lygtimi su pastoviais koeficientais. Skirtuminė lygtis yra patogi diskretinės sistemos išraiška. Ji naudojama sistemai realizuoti, leidžia nustatyti sistemos eilę bei kitas charakteristikas. Skirtuminės lygties eilę apibūdina dydis N. Diskretinės sistemos impulsinė charakteristika yra jos reakcija į vienetinį impulsą, todėl jei x(n) = δ(n), tai y(n) = h(n). Sistemos pradinė sąlyga yra nulinė, t.y. h(n) = 0, kai n < 0. Sistemos, kurių skirtuminės lygtys yra (1.6) pavidalo, vadinamos neribotos impulsinės reakcijos (NIR) sistemomis. Sistemos, kurių impulsinės charakteristikos yra baigtinės, vadinamos ribotos impulsinės reakcijos (RIR) sistemomis.
Matlabo programa filter
Matlabo programa filter skirta skirtuminėms lygtims spręsti skaitmeniškai, kai duota įėjimo seka ir skirtuminės lygties koeficientai. Čia b = [b0, b1, ..., bM] ir a = [a0, a1, ..., aN] yra (1.6) lygties koeficientų masyvai, o x yra įėjimo seka. Išėjimo sekos y ilgis yra lygus įėjimo sekos x ilgiui. Koeficientas a0 neturi būti lygus nuliui.
Pavyzdžiui, turint koeficientų masyvus b = [1] ir a = [1, -1, 0.9], galima išspręsti skirtuminę lygtį ir išvesti impulsinės charakteristikos visas reikšmes. Iš gauto h(n) grafiko matoma, kad h(n) → 0, kai n → ∞, todėl sistema stabili (1-as būdas stabilumui patikrinti). Apskaičiuojant sum(abs(h)), gaunama, kad ji lygi 14,8785, todėl sistema stabili (2-as būdas stabilumui patikrinti).
Taip pat skaitykite: Perdavimo funkcijos charakteristikos
Daugianario šaknų skaičiavimas
Galima apskaičiuoti daugianario, kurio koeficientai sudaryti iš masyvo a reikšmių, šaknis. Pavyzdžiui, apskaičiuojant daugianario f(x) = y(n) - y(n - 1) + 0.9 y(n - 2) šaknis ir nustatant, ar sistema stabili, reikia apskaičiuoti šaknų absoliutinius dydžius. Gaunama, kad magz = 0.9487, 0.9487. Funkcija conv negali atlikti kompozicijos operacijos, jei dvi arba viena seka yra neriboto ilgio. Kompozicijai apskaičiuoti reikia naudoti funkciją filter.
Kompozicijos skaičiavimas
Turint riboto ilgio įėjimo seką x(n) = u(n) - u(n - 10) ir neriboto ilgio impulsinę charakteristiką h(n) = (0.9)^n u(n), pagal apibrėžimą h(n) yra sistemos išėjimo seka (impulsinė charakteristika), kai įėjime veikia vienetinis impulsas δ(n). Šią kompoziciją galima apskaičiuoti naudojant funkciją filter.
Diskretinio laiko Furjė analizė
Diskretinio laiko Furjė analizė yra svarbi skaitmeninio signalo apdorojimo priemonė, leidžianti bet kokį signalą išskaidyti į elementarius signalus - kompleksines eksponentes. Realusis signalas tokiu atveju vaizduojamas sinusinių signalų suma. Ši analizė suteikia galimybę interpretuoti nagrinėjamą signalą ir sistemą dažnių srityje. Dažninė analizė tapo labiausiai ištobulintu skaitmeninio signalo apdorojimo įrankiu.
Impulsinė charakteristika h(n)
Tiesinė sistema gali būti aprašyta jos reakcija į vienetinį impulsą h(n), vadinama impulsine charakteristika. Furjė transformacija naudojama tiesinių diskretinių sistemų analizei dažnių srityje. Diskretinės sistemos impulsinė charakteristika h(n) apibūdina sistemą kaip n funkciją. Sistemą galima apibūdinti ne tik impulsine charakteristika. Tarkime, kad sistemos įėjime veikia kompleksinės eksponentės pavidalo seka x(n) = e^(jωn).
Dažninė charakteristika
Sekos, padaugintos iš kompleksinio dydžio H(e^(jω)), H(e^(jω)) vadinama sistemos dažnine charakteristika. Dažninė charakteristika yra sistemos perdavimo koeficientas kiekvienai dažnio reikšmei ω. ADCh yra lyginė dažnio funkcija, o FDCh - nelyginė.
Taip pat skaitykite: Reabilitacija psichikos sveikatos centre
Daugiamatės sistemos autoregresinis modelis
Nagrinėsime daugiamatės sistemos autoregresinį modelį. Turime M kanalų sistemą, kurios kiekvieno k-ojo kanalo išėjimo signalas yk(t) laiko momentu t priklauso nuo įėjimo signalo uk(t), uk(t-1) ir nuo ankstesnių išėjimo signalo reikšmių yk(t-1), yk(t-2). Čia uk(t) yra įėjimas ir yk(t) yra išėjimas. Daroma prielaida, kad koeficientai prie uk(t), yk(t) narių lygūs vienetui. Tuomet ir W(z) bus polinominė matrica.
Polinominės matricos determinantas ir adjunktai
Apskaičiuojant polinominės matricos determinantą ir visus adjunktus pagal žinomas taisykles dauginami polinomai. Galima panaudoti Furjė transformacijos algoritmą. Apskaičiuojami (2.8) išraiškos matricos A(z), B(z), C(z) elementai, kurie priklauso nuo visų kanalų įėjimo signalų Uk(z) transformacijų Uk(ejω), Uk(ejω), su sąlyga, kad visų kanalų, išskyrus k-ąjį kanalą, įėjimo signalai lygūs nuliui. Kanalo amplitudės dažninė charakteristika tarp k-ojo išėjimo ir l-ojo įėjimo yra dažninės charakteristikos absoliutinė reikšmė Hkl(ejω), o fazės dažninė charakteristika - dažninės charakteristikos argumentas arg[Hkl(ejω)], Hkl(ejω).
Stabilumas
Žinome, kad z yra vėlinimo operatorius. Daugiamatė sistema bus stabili tada ir tik tada, kai perdavimo funkcijos H(z) (2.16) vardiklio det(A(z)) visos šaknys bus vienetinio spindulio apskritimo viduje. Tokiu būdu, iš (2.18) seka, kad kanalo stabilumas tarp k-ojo išėjimo ir l-ojo įėjimo priklauso nuo polinomo A(z) šaknų.
Polinomo šaknų absoliutūs dydžiai
Polinomo šaknų absoliutūs dydžiai: 0.8762, 0.9559, 0.6393, 0.6393, 0.47, 0.47, 0.3922 yra mažesni už vienetą.
Skaičiavimo metodai
Skaičiuojant, priimkime, kad visų sistemos kanalų vėlinimai yra vienodi, t.y. τk = τl (jei nevienodi, tada τk ≠ τl). Apskaičiuojame A(z), B(z); C(z). Apskaičiuojame A(z) adjunktus.
Taip pat skaitykite: Efektyvūs būdai atstatyti kognityvines funkcijas
Modeliavimas su Matlab
Tyrimui naudojome Matlabo programą, kur tirtas MKSS algoritmo sudėtingumas ir jis lygintas su žinomu geriausiu Leverrier algoritmu. Tirtos priklausomybės nuo polinomų eilės. Grafikuose o pavaizduotas MKSS metodo grafikas, t.y. GFT, o * - Leverrier metodo grafikas. Iš 25 pav. ir 26 pav. matoma priklausomybė nuo polinomų eilės, kai r = 5, 10, 20 ir 35. Iš 27 pav. ir 28 pav. matoma priklausomybė nuo perdavimo funkcijos matricos dydžio M x M (M - kanalų skaičius). Šiuo atveju fiksuojame polinomų eilę M. Matlabo programa naudota skaičiavimo laikui parodyti. Taip pat surfc funkcija naudota vaizdingam grafikui išvesti.
tags: #perdavimo #funkcijos #priklausomybe #nuo #argumento