Įvadas
Atsitiktiniai dydžiai yra esminė tikimybių teorijos sąvoka, naudojama modeliuoti ir analizuoti reiškinius, kurių rezultatai nėra visiškai nuspėjami. Šiame straipsnyje išsamiai aptarsime atsitiktinius dydžius, jų tipus, skaitines charakteristikas ir pasiskirstymo funkcijas, siekiant suteikti skaitytojui platų supratimą apie šią svarbią temą. Atsitiktinius dydžius tenka nagrinėti įvairiose mokslo ir technikos srityse. Kiekvienas šių dydžių, veikiant atsitiktinėms aplinkybėms gali įgyti skirtingas reikšmes, kurių iš anksto pasakyti negalime. Todėl, norint apibūdinti atsitiktinį dydį, pirmiausia reikia žinoti, kokias reikšmes jis gali įgyti. Aprašant atsitiktinius dydžius turime žinoti ne tik kokias reikšmes gali jis įgyti, bet ir kaip dažnai, t.y. su kokia tikimybe tos reikšmės įgyjamos.
Atsitiktinio Dydžio Apibrėžimas
Atsitiktinis dydis - tai dydis, kurio reikšmė priklauso nuo atsitiktinio eksperimento rezultato. Kitaip tariant, tai yra kintamasis, kurio reikšmė nėra determinuota, bet gali būti aprašyta tikimybių pasiskirstymu. Atsitiktinius dydžius tenka nagrinėti įvairiose mokslo ir technikos srityse. Atsitiktinius dydžius tenka nagrinėti įvairiose mokslo ir technikos srityse.
Atsitiktinių Dydžių Pavyzdžiai
Atsitiktiniai dydžiai gali būti labai įvairūs. Štai keletas pavyzdžių:
- Nestandartinių gaminių skaičius imtyje.
- Iš kosmoso į Žemės paviršių krinta įvairios dalelės. Dalelių patekusių į apibrėžtą Žemės plotą per tam tikrą laiko tarpą, skaičius yra atsitiktinis dydis.
- Matuojame atstumus tarp abiejų Žemės paviršiaus taškų. Matavimo prietaisus veikia daugybė atsitiktinių faktorių: temperatūros svyravimai, virpesiai, vėjas ir t.t. Matavimo rezultatas yra atsitiktinis dydis.
- Atsitiktinai sutikto žmogaus ūgis.
- Lietuvoje per metus gimusių kūdikių skaičius.
- Skaičius akučių, kurios atvirsta metant lošimo kauliuką vieną kartą.
- Žaidimo urną mestas rutuliukas su vienodomis tikimybėmis gali įkristi į bet kurią iš dviejų urnos sekcijų - į pirmąją arba į antrąją. Į šią urną įmesti trys rutuliukai. Sakykime, $:X:$ - rutuliukų skaičius pirmojoje sekcijoje.
- Dėžutėje penkios kortelės, ant kurių užrašyti skaičiai: ant pirmos ir antros - skaičius $:2:$, ant trečios ir ketvirtos - skaičius $:3:$, ant penktos - skaičius $:4:$. Atsitiktinai paimamos dvi kortelės. Ant paimtųjų kortelių užrašytų skaičių suma yra atsitiktinis dydis.
- Mieste yra keturi knygynai. Tikimybė, kad mokinys galės bet kuriame knygyne nusipirkti jį dominančią knygą, lygi $:0,5:$. Mokinys tol eina į knygynus, kol knygą nusiperka arba kol apeina visus knygynus. Į kiekvieną knygyną jis eina tik po vieną kartą.
- Krepšelyje yra keturi saldainiai, kurie sveria atitinkamai $:7:$, $:8:$, $:9:$ ir $:10:$ gramų. Atsitiktinai paėmęs du saldainius, Jonas atiduoda sunkesnį draugui.
Atsitiktinio Dydžio Pasiskirstymo Funkcija
Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija apibrėžia tikimybę, kad atsitiktinis dydis įgis reikšmę, mažesnę arba lygią tam tikrai reikšmei. Formaliai, atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo funkcija F(x) yra apibrėžiama kaip:
- F(x) = P(X ≤ x), kur P yra tikimybė.
Pasiskirstymo funkcija yra svarbi, nes ji pilnai apibūdina atsitiktinio dydžio elgesį.
Taip pat skaitykite: Kraujo judėjimo iššūkiai
Pasiskirstymo Funkcijos Savybės
Pasiskirstymo funkcija F(x) turi keletą svarbių savybių:
- Pasiskirstymo funkcija yra apibrėžta visoje skaičių tiesėje.
- 0 ≤ F(x) ≤ 1, kiekvienam x.
- F(x) nemažėjanti, t.y. jei x1 < x2, tai F(x1) ≤ F(x2).
- F(x) yra tolydi iš dešinės, t.y. lim (x→a+) F(x) = F(a).
- lim (x→-∞) F(x) = 0 ir lim (x→+∞) F(x) = 1.
Diskretieji Atsitiktiniai Dydžiai
Atsitiktiniai dydžiai, kurių įgyjamų reikšmių aibė yra baigtinė arba skaičioji, vadinami diskrečiaisiais atsitiktiniais dydžiais. Tai reiškia, kad diskretusis atsitiktinis dydis gali įgyti tik tam tikras atskiras reikšmes.Atsitiktiniai dydžiai labai įvairūs: atsitiktiniai dydžiai, kurie įgyja baigtinį skaičių reikšmių, vadinami diskrečiaisiais atsitiktiniais dydžiais.
Diskretusis Atsitiktinis Dydis: Pasiskirstymo Dėsnis
Diskretusis atsitiktinis dydis X įgyja reikšmes x1, x2,…, xk su tikimybėmis p1, p2,…, pk. Šis atsitiktinio dydžio reikšmių ir joms atitinkančių tikimybių rinkinys vadinamas diskretaus atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsniu.
| xi | x1 | x2 | x3 | … | xn |
|---|---|---|---|---|---|
| pi | p1 | p2 | p3 | … | pn |
Čia x1, x2, . (x1, p1), (x2, p2), .
Svarbu pažymėti, kad visų tikimybių suma turi būti lygi vienetui:
Taip pat skaitykite: Pacientų agresijos tyrimai
- ∑ pi = 1
Pavyzdys: Krepšininko Baudų Metimai
Krepšininkas meta 3 baudas. Baudų pataikymo tikimybė p=. Tarkime, kad X yra pataikytų baudų skaičius. X gali įgyti reikšmes 0, 1, 2 arba 3. Norint aprašyti šį atsitiktinį dydį, reikia nurodyti kiekvienos reikšmės tikimybę.
Tolydieji Atsitiktiniai Dydžiai
Atsitiktiniai dydžiai, kurių įgyjamų reikšmių aibė nėra skaičioji, vadinami tolydžiaisiais atsitiktiniais dydžiais. Tai reiškia, kad tolydusis atsitiktinis dydis gali įgyti bet kurią reikšmę iš tam tikro intervalo. Atsitiktiniai dydžiai, kurių įgyjamų reikšmių aibė yra neskaiti, t.y. jos reikšmės visiškai užpildo intervalą, vadinami tolydžiaisiais atsitiktiniais dydžiais.
Tankio Funkcija
Tolydusis atsitiktinis dydis aprašomas tankio funkcija f(x), kuri parodo tikimybės tankį tam tikrame taške. Tankio funkcija turi tenkinti šias sąlygas:
- Tankio funkcija yra neneigiama ,t.y. f(x) ≥ 0, kiekvienam x.
- Plotas po tankio funkcijos kreive turi būti lygus 1, t.y. ∫ f(x) dx = 1 (integralas imamas per visą galimų reikšmių intervalą).
Pasiskirstymo Funkcija
Tolydžiojo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija F(x) yra apibrėžiama kaip integralas nuo tankio funkcijos:
- F(x) = ∫ (-∞ iki x) f(t) dt
Savybės
- Pasiskirstymo f-jos ir tankio f-jos savybės.
- Tarkime p(x) yra absoliučiai tolydžiojo atsitiktinio dydžio X tankio funkcija. Tada absoliučiai tolydžiojo a.d. Jeigu a ≤ X ≤ b, tai a ≤ EX ≤ b.
Atsitiktinių Dydžių Skaitinės Charakteristikos
Atsitiktinį dydį visiškai apibūdina jo tikimybių pasiskirstymo funkcija. Tačiau praktikoje dažnai naudojamos skaitinės charakteristikos, kurios leidžia apibūdinti atsitiktinio dydžio svarbiausias savybes. Svarbiausios skaitinės charakteristikos yra vidurkis (matematinė viltis) ir dispersija.
Taip pat skaitykite: Priklausomybė nuo laiko
Vidurkis (Matematinė Viltis)
Vidurkis (arba matematinė viltis) yra atsitiktinio dydžio vidutinė reikšmė. Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui vidurkis apskaičiuojamas taip:
- E(X) = ∑ xi * pi
Tolydžiajam atsitiktiniam dydžiui vidurkis apskaičiuojamas taip:
- E(X) = ∫ x * f(x) dx (integralas imamas per visą galimų reikšmių intervalą)
Vidurkis charakterizuoja atsitiktinio dydžio vidutinę reikšmę, t.y. dydis ξ reikšmę x1 įgyja n1 kartų, reikšmę x2 - n2 kartų, . - nk kartų. lygus šio įvykio tikimybei, t.y. [pic]. charakterizuoja atsitiktinio dydžio vidutinę reikšmę, t.y.
Vidurkio Savybės
- Pastovaus dydžio vidurkis lygus pačiam dydžiui.
- E(c) = c, kur c yra konstanta.
- E(cX) = cE(X), kur c yra konstanta.
- E(X + Y) = E(X) + E(Y), kur X ir Y yra atsitiktiniai dydžiai.
Dispersija
Dispersija yra atsitiktinio dydžio reikšmių išsibarstymo apie vidurkį matas. Ji parodo, kaip toli atsitiktinio dydžio reikšmės yra nutolusios nuo vidurkio. Diskrečiajam atsitiktiniam dydžiui dispersija apskaičiuojama taip:
- D(X) = ∑ (xi - E(X))^2 * pi
Tolydžiajam atsitiktiniam dydžiui dispersija apskaičiuojama taip:
- D(X) = ∫ (x - E(X))^2 * f(x) dx (integralas imamas per visą galimų reikšmių intervalą)
Dažnai dydžio ξ vidurkis kartais žymimas simboliu Eξ. apie kurią išsibarščiusios galimos atsitiktinio dydžio reikšmės. vidurkis nepilnai charakterizuoja atsitiktinį dydį. Pvz. ξ - Mξ . Apibrėžimas. dimensija.
Dispersijos Savybės
- D(c) = 0, kur c yra konstanta.
- D(cX) = c^2 * D(X), kur c yra konstanta.
- Jei X ir Y yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, tai D(X + Y) = D(X) + D(Y).
- Atsitiktinio dydžio dispersija neneigiama, t.y. D(ξ + η) = Dξ + Dη.
- Atsitiktinio dydžio dispersija neneigiama, t.y.
Standartinis Nuokrypis
Standartinis nuokrypis yra dispersijos kvadratinė šaknis:
- σ(X) = √D(X)
Standartinis nuokrypis matuojamas tais pačiais vienetais kaip ir pats atsitiktinis dydis, todėl jis yra patogesnis interpretuoti nei dispersija.
Kvantiliai
Kvantiliai. atsitiktnio dỹdžio tikimýbinis skirstinỹs, normuotasis (tikimybinis) matas, apibrėžtas lygybe PX(A) = P(X ∈ A); čia A - bet kuri realiųjų skaičių Borelio aibė, X - atsitiktinis dydis (AD). Atsitiktinio dydžio tikimybinis skirstinys yra apibrėžtas, jei kiekvienai Borelio aibei A apibrėžta tikimybė, su kuria tas AD įgyja reikšmę, priklausančią aibei A. Atsitiktinio dydžio tikimybinis skirstinys vienareikšmiškai nusakomas AD pasiskirstymo funkcija F(x) = P(X ∈ (-∞, x)) = P(X < x). . Toks atsitiktinio dydžio tikimybinis skirstinys vadinamas diskrečiuoju. . Atsitiktinio dydžio tikimybinis skirstinys naudojamas skaičiuojant tikimybes, susijusias su AD. Dažniausiai pasitaikantys diskretieji skirstiniai - binominis, Poissono, tolydieji - normalusis (Gausso), tolygusis, Studento, Fisherio.
Pilnosios Tikimybės Formulė ir Sąlyginė Tikimybė
Dažnai galimybė įvykti vienam įvykiui priklauso nuo to, ar įvyksta kitas įvykis.
Sąlyginė Tikimybė
Sąlyginė tikimybė P(A|B) apibrėžia įvykio A tikimybę, jei įvykis B jau įvyko. Ji apskaičiuojama pagal formulę:
- P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), jei P(B) > 0
Ši formulė dar vadinama tikimybių daugybos teorema.
Pilnosios Tikimybės Formulė
Pilnosios tikimybės formulė leidžia apskaičiuoti įvykio A tikimybę, kai žinomos sąlyginės tikimybės P(A|Hi) ir įvykių Hi tikimybės, kur įvykiai Hi sudaro pilnąją įvykių grupę. Pilnosios tikimybės formulė teigia, kad užtenka žinoti įvykio A tikimybę, esant sąlygoms H1 , H2 , … , ir tų sąlygų susidarymo tikimybes.
- P(A) = ∑ P(A|Hi) * P(Hi)
Pilnosios tikimybės formulė teigia, kad užtenka žinoti įvykio A tikimybę, esant sąlygoms H1 , H2 , … , ir tų sąlygų susidarymo tikimybes.
Nepriklausomi Bandymai ir Bernulio Schema
Atliekame n nepriklausomų eksperimentų.
Bernulio Schema
Tarkime, atliekant eksperimentą galimos dvi baigtys - „sėkmė“ ir „nesėkmė“. Eksperimento sėkmės tikimybė - p. Atliekame n nepriklausomų eksperimentų (Bernulio schema). Vieną kartą daromo bandymo sėkmės tikimybė 0 < p < 1. Nepriklausomus bandymus darome tol, kol sulaukiame pirmos sėkmės. Atsitiktinis dydis X yra bandymų skaičius iki pirmos sėkmės. Sakysime, kad X turi geometrinį skirstinį.
Geometrinė Tikimybė
Tarkim, turime geometrinę figūrą Ω. Geometrinė figūra A yra Ω poaibis. Galimybės pasirinkti bet kurį Ω tašką yra vienodos. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai parinktas taškas priklausys figūrai A?
Puasono Skirstinys
Puasono skirstinys dar vadinamas retų įvykių skirstiniu. Jis priklauso nuo vieno parametro λ > 0 ir žymimas X ~ P(λ). Puasono skirstinys dar vadinamas retų įvykių skirstiniu. Jis priklauso nuo vieno parametro λ > 0 ir žymimas X ~ P(λ).
Puasono Skirstinio Taikymas
Puasono skirstinys taikomas, kai reikia modeliuoti įvykių, kurie vyksta retai per tam tikrą laiko intervalą, skaičių. Pavyzdžiui, jis gali būti naudojamas modeliuojant klientų skaičių, atvykstančių į parduotuvę per valandą, arba automobilių skaičių, pravažiuojančių tam tikrą kelio atkarpą per dieną.