Įvadas
Straipsnyje nagrinėjama kelio priklausomybė nuo laiko, naudojant išvestines. Išvestinės yra galingas matematinis įrankis, leidžiantis aprašyti kitimo greitį, o tai ypač svarbu nagrinėjant kūnų judėjimą. Straipsnyje aptariamos pagrindinės išvestinių sąvokos, jų taikymas mechanikoje, įskaitant judėjimo greičio ir pagreičio nustatymą, taip pat orbitų mechanikoje, analizuojant dangaus kūnų judėjimą.
Išvestinės sąvoka ir jos geometrinė bei mechaninė prasmė
Funkcijos išvestinė apibrėžiama kaip funkcijos pokyčio santykis su argumento pokyčiu, kai argumento pokytis artėja prie nulio. Matematiškai tai užrašoma taip:
f'(x) = lim (Δx→0) [f(x + Δx) - f(x)] / Δx
čia:
- Δx - nepriklausomojo kintamojo x pokytis,
- Δy - funkcijos pokytis: Δy = f(x + Δx) - f(x).
Išvestinė turi aiškią geometrinę prasmę: f′(x0) yra kreivės y = f(x) liestinės, nubrėžtos per lietimosi tašką M0(x0, f(x0)), krypties koeficientas. Jei liestinė su Ox ašimi sudaro kampą α, tai f′(x0) = tanα.
Taip pat skaitykite: Apie laisvąjį dujų kelią
Mechanikoje išvestinė apibrėžia judėjimo greitį. Jei funkcija S = f(t) yra tiese judančio kūno kelio S priklausomybė nuo laiko t, tai f′(t) yra to kūno judėjimo greitis momentu t. Išvestinė taške t = t1 yra jo greitis gt1 momentu t1.
Svarbu pažymėti, kad jei funkcija taške turi išvestinę, ji šiame taške yra tolydžioji, bet jei funkcija taške yra tolydžioji, ji nebūtinai šiame taške turi išvestinę.
Išvestinių taikymas mechanikoje
Monotoniškumo ir ekstremumų nustatymas
Taikant funkcijos y = f(x) pirmąją išvestinę galima nustatyti funkcijos monotoniškumą ir ekstremumą. Jei išvestinė teigiama, funkcija didėja, jei neigiama - mažėja. Ekstremumai (maksimumai ir minimumai) randami, kai išvestinė lygi nuliui arba neegzistuoja.
Antroji išvestinė ir įgaubtumas/iškilumas
Funkcijos y = f(x) antroji išvestinė apibrėžiama kaip pirmosios išvestinės išvestinė. Taikant funkcijos antrąją išvestinę y″ = f″(x) galima nustatyti funkcijos įgaubtumą ar iškilumą, perlinkio taškus. Jei antroji išvestinė teigiama, funkcija yra įgaubta (panaši į "U" raidę), jei neigiama - iškili (panaši į apverstą "U" raidę). Perlinkio taškai randami, kai antroji išvestinė lygi nuliui arba neegzistuoja.
Dalinės išvestinės
Kelių kintamųjų tolydžiosios funkcijos f(x1, x2, …, xn) išvestinė, apskaičiuota argumentą xj laikant kintamu, o kitus argumentus - pastoviais, vadinama šios funkcijos daline išvestine kintamojo xj atžvilgiu. Dalinės išvestinės apibūdina funkcijos kitimo greitį Descartes’o koordinačių ašių kryptimis.
Taip pat skaitykite: Optinio kelio ilgio vadovas
Nagrinėjant įvairius procesus dažnai reikia nustatyti funkcijos kitimo greitį ir kitomis kryptimis, pvz., sprendžiant Neumanno kraštinį uždavinį, kraštinės sąlygos reiškiamos paviršiaus normalės kryptimi, statmena paviršiaus liečiamajai plokštumai lietimosi taške; šilumos sklidimo greičiui kuriame nors kūne nustatyti svarbios ne tik koordinačių ašių, bet ir kitos kryptys (tada ieškoma funkcijos, aprašančios temperatūros pasiskirstymą, išvestinę norima kryptimi).
Taikant antrosios eilės dalines išvestines galima nustatyti dviejų kintamųjų funkcijos ekstremumus.
Diferencialinės lygtys
Sudarymos ir sprendžiamos diferencialinės lygtys, jų sistemos, kuriose yra ir paprastųjų, ir dalinių išvestinių. Išvestinės taip pat taikomos apytiksliai sprendžiant lygtis f(x) = 0 (Newtono metodas), skleidžiant funkcijas laipsninėmis eilutėmis.
Išvestinių taikymas orbitų mechanikoje
Orbitų mechanika nagrinėja dirbtinių dangaus kūnų judėjimą. Tiek natūralūs, tiek dirbtiniai dangaus kūnai juda erdvėje veikiami visuotinės traukos (gravitacijos). Gamtinės kilmės dangaus kūnų judėjimas iš esmės priklauso tik nuo visuotinės traukos jėgos (gravitacijos). Dirbtiniai dangaus kūnai, skirtingai nuo gamtinių, tam tikromis skrydžio akimirkomis yra veikiami ir raketinių variklių sukuriamų jėgų, keičiančių jų judėjimą. Todėl natūralios kilmės dangaus kūnų judėjimą galima tik stebėti, jį apskaičiuoti, o dirbtinių - ir keisti, t. y., pagal poreikį valdyti kosminį skrydį.
Orbitų mechanika kilo iš teorinės astronomijos. Kosminio skrydžio planavimas, t. Skrydžio kelio (trajektorijos), arba orbitos nustatymas; sprendžiant šios rūšies uždavinius, iš stebėjimų ir matavimų nustatomi erdvėlaivio skriejimo parametrai. Tai taikoma, kai, pvz., palydovas išvedamas į orbitą, ir nustačius neatitikimą nuo numatytosios, atlikti orbitos keitimo veiksmus. Pirmuosius praktinius metodus orbitai nustatyti sukūrė Johanas Karlas Frydrichas Gausas (1777-1855) XIX a. pradžioje. Mažiausiai trys stebėjimai reikalingi orbitos savybių nustatymui. Tikrovėje reikalinga atlikti daugiau stebėjimų. Erdvėlaivio skriejimo kelio numatymas (prognozė). Šios rūšies uždaviniai sprendžia erdvėlaivio padėties radimą tam tikrą akimirką. Orbitos keitimas, t.
Taip pat skaitykite: Pagalba draugui, kenčiančiam nuo depresijos
Vokiečių matematikas Johanas Kepleris, remdamasis danų astronomo Tycho Brahės dangaus stebėjimų duomenimis, apie 1605 m. Šie dėsniai buvo empiriniai (paremti stebėjimais). Izaokas Niutonas 1687 m. paskelbė visuotinės traukos dėsnį ir juo remdamasis paaiškino, kodėl planetos juda būtent taip, kaip atrado Kepleris. Trečiasis Niutono (Atoveiksmio) dėsnis: Kiekvienam veiksmui visuomet atsiranda atoveiksmis (atoveiksmio, reakcijos jėga). Stebėjimais nustačius planetų judėjimo dėsnius, imta ieškoti matematiškai pagrįsto dėsnių išvedimo. Dangaus kūnų judėjimo uždaviniui išspręsti yra sudaroma judėjimo lygtis, kurios sprendinys yra kūno judėjimo kelias.
Dviejų kūnų sistema
Izoliuota dviejų kūnų sistema yra pats paprasčiausias orbitų mechanikos uždavinys. Nepaisant to, tai yra pats paprasčiausias uždavinys, turintis analizinį sprendinį. Tikrovėje neįmanoma pasiekti, kad dviejų kūnų sistema būtų izoliuota - ją visuomet veikia ir kiti erdvėje esantys kūnai, taip trikdydami šios dviejų kūnų sistemos judėjimą. Jei kiti kūnai yra pakankamai nutolę nuo sistemos, arba jų masė pakankamai maža, trikdymų galima nepaisyti, o dviejų kūnų sistemą nagrinėti kaip izoliuotą sistemą.
Nagrinėdami dviejų kūnų sistemą, atsiribosime nuo tų kūnų kilmės. Tarkim, dviejų kūnų masės yra m_1 ir m_2, o jų padėties vektoriai laisvai pasirinkto nejudančio atskaitos taško atžvilgiu yra bb r_1 ir bb r_2. Įprastai vieno iš kūnų masė yra žymiai didesnė už kito. Tarkim, . Šis masyvesnis kūnas vadinamas centriniu sistemos kūnu. Mažesniojo kūno padėtis centrinio kūno atžvilgiu yra bb r=bb r_2-bb r_1.
Pagal Niutono visuotinės traukos dėsnį, du kūnai, yra veikiami traukos jėgos, proporcingos tų kūnų masėms m_1 ir m_2, ir atvirkščiai proporcingos atstumo tarp jų r kvadratui. Kadangi jėga yra nukreipta į kūnų centrą, ji vadinama centrine jėga.
Mus domina kūno judėjimas centrinio kūno atžvilgiu. Siekiant gauti kūno judėjimo aplink centrinį kūną lygtį, suprastinamos lygtyse \eqref{1-3} ir \eqref{1-4} esančios atitinkamos masės ir iš \eqref{1-3} lygties atimama \eqref{1-4} lygtis. Lygtį \eqref{1-5} sudaro padėties vektorius ir jo antroji išvestinė pagal laiką. Lygties \eqref{1-5} sprendinys yra kūno padėties vektoriaus kitimo laike centrinio kūno atžvilgiu funkcija .
Diferencialinės lygties \eqref{1-5} sprendiniui gauti, reikia ją integruoti šešis kartus. Lygties \eqref{1-5} sprendinys yra begalinė šeima orbitų, turinčių skirtingus dydžius, pavidalus ir kryptis. Kūno judėjimą vienareikšmiškai galima nustatyti tam tikrą akimirką išmatavus jo padėtį bei greitį, taip vienareikšmiškai apibrėžiant integravimo konstantas (pradines sąlygas).
Dviejų kūnų sistemoje galima rasti šešias konstantas (integralus), kurių vertės nekinta, kintant kūno padėčiai ir greičiui. Trys judėjimo konstantos yra adityviosios konstantos, aprašančios tvermės dėsnius: energijos, judesio kiekio ir judesio kiekio momento. Kitas galimas integralų rinkinys yra geometriniai dydžiai, aprašantys orbitą labai aiškiu būdu ir vadinamas orbitos parametrais.
Kadangi greičio dot bb r\=bb v vektoriaus kryptis sutampa su judesio kiekio vektoriaus bb p kryptimi, o jų vektorinė sandauga lygi 0, lygties \eqref{1-9}, dešiniosios pusės pirmasis narys išnyksta.
Įrodysime, kad kūno, skriejančio aplink centrinį kūną, judesio kiekio momentas yra pastovus. Traukos jėga, veikianti materialųjį tašką yra nukreipta išilgai padėties vektoriaus. gaunamas savitasis judesio kiekio momentas. Judesio kiekio momento tvermės dėsnis gaunamas ir kitu būdu. Pasinaudojus \eqref{1-12} ir \eqref{1-14}, gaunama savitojo judesio kiekio momento išvestinė laike dot bb k=bb r xx bb ddot r. Pasinaudojus judėjimo lygtimi \eqref{1-5}, gaunama dot bb k= bb r xx -mu(bb r/r^3)=-(mu/r^3)bb r xx bb r=0, nes bb r xx bb r=0.
Energijos tvermės dėsnis teigia, kad uždaros sistemos pilnutinė energija nekinta, tik pereina iš vienos rūšies energijos į kitą. Dydis U(r) yra potencinė gravitacinio lauko energija. Formulė \eqref{1-15} ne tik aprašo energijos tvermės dėsnį, bet ir dviejų skirtingų mechaninės energijos rūšių tarpusavio virtimo iš vienos į kitą sąryšį [Young ir kiti, 2011]. Kadangi traukos jėga yra centrinė (t. Saulės gravitacijos potencialas įvairiuose taškuose, nutolusiuose nuo Saulės. Atstumas matuojamas astronominiais vienetais (a. Savitoji mechaninė energija matuojama "J/kg".
Pasinaudojus skaliarinės sandaugos savybėmis, gauname . Kadangi yra statmenas orbitos plokštumai, taip pat turi būti šioje plokštumoje. Kadangi vektorius yra sudėtinis dviejų vektorių, esančių orbitos plokštumoje, vektorius, taip pat yra šioje plokštumoje. Vėliau bus parodyta, kad ekscentriškumo vektoriaus bb e pradžia sutampa su centrinio kūno masės centru ir jis yra nukreiptas į tašką, kuriame kūnas yra arčiausiai centrinio kūno (pericentre).
Keplerio dėsnių išvedimas
Pirmasis Keplerio dėsnis teigia, kad visos planetos juda elipsinėmis orbitomis, o viename iš elipsės židinių yra Saulės centras. Bendru atveju planetas galima pavadinti kūnais, o už juos daug sunkesnį kūną - centriniu kūnu. Norint įrodyti šį teiginį matematiškai, reikia rasti kosminio kūno orbitos lygtį.
Kadangi yra pastovusis vektorius, esantis orbitos plokštumoje, viena atskaitos sistemos ašių sutapatinama su šio vektoriaus kryptimi. Ženklu pažymimas kampas tarp kūno padėties vektoriaus ir . Kampas vadinamas tikrąja anomalija. Tam elementarus poslinkis išskaidomas į dvi dedamąsias (5 Pav.) dr_f ir dr_r.
Vienetinis vektorius, nukreiptas statmenai spinduliui r kampo f didėjimo kryptimi pažymimas bb e_f, o spindulio didėjimo kryptimi - bb e_r. Čia v_f=r dot f, v_r=dot r. Gavosi dvi lygtys \eqref{1-24} ir \eqref{1-25}, į kurias įeina dvi nežinomos funkcijos: r(t) ir f(t). Jų pakanka aprašyti kūno judėjimą.
Pirmojo Keplerio dėsnio gavimui svarbus ne kūno padėties kitimas laike, o judėjimo kelias (trajektorija), todėl iš lygčių pašalinamos priklausomybės nuo laiko. Pertvarkius lygtį \eqref{1-24} ir išreiškus dot phi ir įstačius į \eqref{1-25}, pašalinamas dot f narys. Toliau, tariama, kad r kitimas laike yra sudėtinga laiko funkcija r(t)=r[f(t)]. kur C=G(m_1^2m_2)/L^2>0.
Vektoriaus ilgis apibūdina kūgio pjūvio ekscentriškumą. Nagrinėdami \eqref{1-30}, galime pastebėti, kad būna mažiausias, kuomet , t. y., vektoriaus kryptimi. Šis Keplerio dėsnis tiesiogiai išvedamas iš judesio kiekio momento tvermės dėsnio.
Vektorinė sandauga bb r xx d bb r yra statmena plokštumai, kurioje yra vektoriai bb r ir d bb r. Tai ir yra matematinė antrojo Keplerio dėsnio išraiška. Kur yra orbitos apskriejimo periodas. Tai yra tiksli trečiojo Keplerio dėsnio, išreikšto iš Niutono dėsnių išraiška.
Orbitiniai greičiai
Pati paprasčiausia stabili uždara orbita, kuria mažesnės masės kūnas juda apie centrinį kūną, yra apskritiminė orbita. Rasime apskritiminės orbitos, kurios spindulys R, greitį. Tai yra mažiausias greitis, kurį turintis kūnas gali skrieti aplink centrinį kūną apskritimine orbita.
Jei pabėgantis kūnas turi mažiausią galimą pabėgimo greitį, tai be galo nutolęs nuo centrinio kūno ribiniu atveju jis praranda visą savo greitį. Tuomet jo kinetinė energija yra lygi 0. Kadangi kūno greitis , o potencinė energija taip pat lygi 0 (nes atstumas yra be galo didelis). Čia yra pradinis atstumas, kuriame kūnas juda greičiu .
Pabėgimo greitis gali būti išreikštas ir pasitelkus apskritiminės orbitos greitį.
Daugelio kūnų sistema ir trijų kūnų uždavinys
Iki šiol buvo nagrinėta tik dviejų kūnų sistema. Tai yra sudėtingiausia sistema, kuriai žinomas analitinis sprendinys. Judėjimo lygtis yra lengvai apibendrinama daugelio kūnų sistemoms. kur yra m -jo kūno masė, o -jo kūno padėties vektorius. Dešinėje lygties pusėje yra atstojamoji traukos jėga, sukuriamą visų kūnų, išskyrus vieną nagrinėjamą.
Jei yra daugiau, nei du kūnai, šios lygties neįmanoma išspręsti analitiškai (gauti paprastos algebrinės išraiškos). Jei visų kūnų spindulių ir greičių vektoriai yra žinomi tam tikrą akimirką, kūnų padėtys bet kurią kitą akimirką lengvai apskaičiuojamos skaitiniais metodais. Kosminių kūnų orbitos tuomet gali būti apskaičiuotos kaip dviejų kūnų sistemoje, o kitų kūnų trikdymai laikomi mažą poveikį turinčiais trikdymais.
Apribotas trijų kūnų uždavinys plačiai nagrinėtas ypatingas atvejis. Jis sudarytas iš dviejų masyvių kūnų, arba pagrindinių kūnų, judančių apskritomis orbitomis vienas aplink kitą, ir trečiąjį, nykstamai mažos masės kūną, judantį toje pačioje plokštumoje, kaip ir pagrindiniai kūnai. Šis kūnas negali paveikti pastarųjų kūnų judėjimo. Taigi, abiejų kūnų orbitos yra pačios paprasčiausios, ir jų padėtys tiksliai žinomos bet kurią akimirką. Uždavinio esmė yra apskaičiuoti nykštukinio kūno orbitą.
Suomių astronomas Karlas Frithiofas Sundmanas rado sprendinį trečiojo kūno orbitai, išreikštą begalinės eilutės pavidale. Trijų kūnų uždavinys turi kelis įdomius sprendinius. Įrodoma, kad tam tikruose taškuose trečiasis kūnas gali likti ramybės būsenos pagrindinių kūnų atžvilgiu. Yra penki taškai, vadinami Lagranžo taškais ,…, (9 Pav.). Trys iš jų yra tiesėje, kertančioje pagrindinių kūnų centrus. Šie taškai yra nestabilūs: jei kūnas bet kuriame iš šių taškų bus sutrikdytas, jis gali pabėgti. Likę du taškai ( ir ) yra stabilūs. Šie taškai kartu su pagrindiniais kūnais sudaro lygiakraščius trikampius.
Dirbtinių palydovų orbitos ir orbitos parametrai
Dirbtiniai palydovai ir kiti kūnai aplink Žemę įprastai skrieja elipsinėmis orbitomis. Žinoma, kad jų orbita ir padėtis bet kurią akimirką vienareikšmiškai apibrėžiama 6 nepriklausomais dydžiais. Patys paprasčiausi - padėties ir greičio vektoriai (kiekvienas sudarytas iš 3 nepriklausomų dedamųjų). Orbitą galima aprašyti ir kitais dydžiais.
Kad nustatyti orbitą, pirmiausia būtina žinoti plokštumą kurioje yra orbita. Įprastai plokštuma eina per centrinio kūno (pvz., Žemės) masės centrą. Be orbitos plokštumos, būtina žinoti apsidžių linijos (elipsės didžiosios ašies) orientaciją, o taip pat elipsės dydį ir formą. Žinant šiuos dydžius, nesutrikdyto judėjimo atveju erdvinė orbitos forma būna vienareikšmiškai apibrėžta. Norint prognozuoti palydovo padėtį orbitoje būtina žinoti pradines sąlygas, t. y., palydovo orbitą apibūdinančius dydžius tam tikrą akimirką. Visus šiuos dydžius galima vienareikšmiškai išreikšti padėties ir greičio vektoriais; šių vektorių naudojimas nėra patogus orbitos įsivaizdavimui/atvaizdavimui, todėl orbitų mechanikoje naudojami iš astronomijos paveldėti parametrai - orbitos elementai arba palydovo orbitos parametrai.
Norint apibrėžti orbitos parametrus, pasirenkama geocentrinė koordinačių sistema, kurios viena iš plokštumų sutampa su Žemės pusiaujo plokštuma. Šioje plokštumoje esanti ašis sutapatinama su pavasario lygiadienio kryptimi ♈ dangaus skliaute. Erdvėlaivio orbita kerta atskaitos sistemos plokštumą dviejuose taškuose, vadinamuose mazgais (nes erdvinės kilpos su plokštuma susikirtimo gavinys yra du taškai). Orbitos kilimo mazgas yra tas, kuriame erdvėlaivis kirsdamas pusiaujo plokštumą patenka į šiaurinį pusrutulį. Priešingas mazgas, kuriame erdvėlaivis patenka iš šiaurinio į pietinį pusrutulį, vadinamas leidimosi mazgu. Tiesė, jungianti šiuos du taškus yra mazgų linija (nes dviejų plokštumų susikirtimas yra tiesė). Ši linija kerta Žemės centrą.
Pirmasis orbitos parametras - orbitos posvyris (inklinacija) i - yra kampas tarp atskaitos (pusiaujo) ir orbitos plokštumų. Kampas matuojamas prieš laikrodžio rodyklę žiūrint iš kilimo mazgo į leidimosi mazgą. Šis kampas kinta 0<=i<=180° ribose. Kosmonautikoje svarbu žinoti, ar erdvėlaivis juda ta pačia kryptimi (pirmyneigis judėjimas), kaip ir Žemės sukimasis (t. y., į rytus, šiaurės rytus, ar pietvakarius), ar priešinga kryptimi (atgalinis judėjimas). Ta pačia linkme (kaip ir Žemės sukimasis) judančių erdvėlaivių orbitos yra pasvirę 0..90° kampu. Atgalinės orbitos būna pasvirę 90..180° kampu. Dažniausiai palydovų orbitos yra pirmyneigės (sutampa su Žemės sukimusi), nes palydovams į jas iškelti reikia santykinai mažiau energijos.
Sekantis orbitos parametras - orbitos kilimo mazgo ilguma - kampas, apibūdinantis orbitos plokštumos pokrypį pavasario lygiadienio krypties atžvilgiu. Kampas matuojamas pusiaujo plokštumoje tarp lygiadienio krypties ir mazgų linijos prieš laikrodžio rodyklę, žiūrint šiaurės-pietų kryptimi. Tai yra kampas orbitos plokštumoje tarp apsidžių ir mazgų linijų. Kampas gaunamas matuojant kampą tarp kilimo mazgo ir perigėjaus erdvėlaivio judėjimo kryptimi. Šis kampas kinta 0<=omega<360° ribose. Paskutinysis orbitos parametras yra laikas , kuriame palydovas yra pradiniame orbitos taške.
Orbitos trikdžiai
Iki šiol remtasi prielaida, kad erdvėlaivio-planetos sistema Saulės sistemoje yra izoliuota. Dirbtinius Žemės palydovus pirmiausia trikdo žemės nerutuliškumas, netolygus masės pasiskirstymas paviršiuje. Trikdymus sukelia ir dėl Žemės atmosferos pasipriešinimo atsiradusi stabdymo jėga, kitų kosmoso kūnų (Mėnulio, Saulės ir kt.) traukos jėga, Saulės šviesos slėgis. Vis tik jų judėjimas labai nenutolsta nuo kūgio pjūvio kreivės ir su tam tikra paklaida galima naudoti įprastus orbitos parametrus jos aprašymui. Bet tokiu atveju parametrai nebėra pastovūs; jie lėtai kinta laike [Karttunen ir kiti, 2007]. Orbitos trikdymai skirstomi į pastovaus veikimo ir periodinio (svyruojamojo) veikimo trikdžius.
Žinoma, kad Žemės pavidalas skiriasi nuo rutulio: dėl sukimosi aplink savo ašį, Žemė yra šiek tiek suplota ties ašigaliais ir todėl savo pavidalu panašesnė į sukimo elipsoidą. Mažasis elipsoido pusašis sutampa su žemės sukimosi ašimi ir lygus b=6357" km" . Didysis pusašis yra pusiaujo plokštumoje, o jo ilgis ....
tags: #kelio #priklausomybe #nuo #laiko